a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>AD//HE và AD=HE

Ta có: AD//HE

F\(\in\)HE

Do đó: AD//HF

Ta có: AD=HE

HE=EF

Do đó: AD=EF

Xét tứ giác ADEF có

AD//EF

AD=EF

Do đó: ADEF là hình bình hành

c: ta có: AEHD là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Ta có: MA=MC

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

Ta có: \(\widehat{AED}+\widehat{MAC}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>AM\(\perp\)ED

mà ED//AF(ADEF là hình bình hành)

nên AM\(\perp\)AF

a) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

- Vì AD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (do HD và HE lần lượt là đường cao của tam giác ABC), nên ADHE là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm F sao cho E là trung điểm của HF.

- Vì E là trung điểm của HF, nên EF = FH.

- Ta cũng có HE = EA (do E là trung điểm của HF và EA).

- Từ đó, ta có EF = FH = HE = EA.

- Vậy, tứ giác ADEF có các cạnh đối diện bằng nhau, là đặc điểm của hình bình hành.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chúng ta cần chứng minh AM vuông góc với AF.

- Ta biết rằng E là trung điểm của HF (theo phần b).

- Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

- Từ đó, ta có AM = BM = MC.

- Vì EF = FH = HE = EA (theo phần b), nên tứ giác ADEF là hình bình hành.

- Do đó, ta có AF song song với DE.

- Vì AM = MC và AF song song với DE, nên AM vuông góc với AF.

Vậy, ta đã chứng minh được AM vuông góc với AF.

Vẽ nháp bằng tay, hình không đẹp cho lắm :v Bài viết có hơi lỗi.

Bài toán phụ : Chứng minh tam giác vuông có 1 góc 60 độ thì cạnh góc vuông nhỏ hơn sẽ bằng 1 nửa cạnh huyền.

Tam giác MNP vuông tại M có góc N là 60 độ.

Trên tia đối tia MN lấy điểm Q sao cho MQ=MN

Tam giác NPQ có PM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại P, mà lại có 1 góc 60 độ nên là tam giác đều ( Dấu hiệu nhận biết tam giác đều), từ đó suy ra NQ = NP, mà NQ= 2MN nên MN = \(\frac{1}{2}\)NP, bài toán được chứng minh.

Tương tự với bài toán của chúng ta :

\(\Delta ABC\)vuông tại Acó \(\widehat{B}=60^o\) \(\Rightarrow AB=\frac{1}{2}BC\)

\(\Delta ABH\)vuông tại H có \(\widehat{B}=60^o\) \(\Rightarrow HB=\frac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow HB=\frac{1}{4}BC\)

Trước hết \(\Delta ABH\) vuông tại H có \(\widehat{B}=60^o\)

 nên \(\widehat{HAB}=90^o-60^o=30^o\)Mà \(\widehat{DAH}+\widehat{HAB}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=60^o\)

\(\Delta DAH\)cân tại A ( AD = AH ), có góc DAH là 60^o nên là tam giác đều ( Dấu hiệu nhận biết tam giác đều )

Như vậy AI là đường cao đồng thời cũng là phân giác góc DAH

\(\Rightarrow\widehat{IAH}=\frac{1}{2}\widehat{DAH}=\frac{60^o}{2}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{KAB}=\widehat{IAH}+\widehat{HAB}=30^o+30^o=60^o\)

\(\Delta KAB\)có \(\widehat{KAB}=\widehat{KBA}=60^o\) nên là tam giác đều

\(\Rightarrow KB=AB\)

Mà \(HB=\frac{1}{2}AB\Rightarrow HB=\frac{1}{2}KB\), hay H là trung điểm của KB.

Vậy ....

dung roi

bạn ấy làm đúng rồi, nhưng có vẻ bạn ấy làm cách áy là hơi dài nhỉ ?

Các bạn làm , vẽ hình rồi chụp nha cảm ơn ạ

a: Ta có: H và D đối xứng với nhau qua AB

nên AH=AD; BH=BD

=>ΔHAD cân tại A

=>AB là phân giác của góc HAD(1)

Ta có H và E đối xứngvới nhau qua AC

nên AH=AE; CH=CE

=>ΔAHE cân tại A

=>AC là phân giác của góc HAE(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc DAE=2xgóc BAC=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

b: Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

BH=BD

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

Suy ra: góc ADB=90 độ

=>BD vuông góc với DE(3)

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

HC=EC

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC

Suy ra: góc AEC=90 độ

=>CE vuông góc với ED(4)

Từ (3) và (4) suy ra BDEC là hình thang vuông

c: ED=AE+AD
=AH+AH=2AH

d: Xét ΔDHE có 

HA là đường trung tuyến

HA=DE/2

Do đó: ΔDHE vuông tại H

a: Ta có: H và D đối xứng với nhau qua AB

nên AH=AD; BH=BD

=>ΔHAD cân tại A

=>AB là phân giác của góc HAD(1)

Ta có H và E đối xứngvới nhau qua AC

nên AH=AE; CH=CE

=>ΔAHE cân tại A

=>AC là phân giác của góc HAE(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc DAE=2xgóc BAC=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

b: Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

BH=BD

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

Suy ra: góc ADB=90 độ

=>BD vuông góc với DE(3)

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

HC=EC

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC

Suy ra: góc AEC=90 độ

=>CE vuông góc với ED(4)

Từ (3) và (4) suy ra BDEC là hình thang vuông

c: ED=AE+AD
=AH+AH=2AH

d: Xét ΔDHE có 

HA là đường trung tuyến

HA=DE/2

Do đó: ΔDHE vuông tại H

ĐỀ QUẬN BÌNH TÂN NĂM 2016 - 2017

a) Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta ACH\)ta có:

AH là cạnh chung

AB = AC ( \(\Delta ABC\)cân tại A)

BH = CH ( H là trung điểm của BC)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c-c-c\right)\)

Xét \(\Delta ABC\)cân tại A ta có:

AH là đường trung tuyến ( H là trung điểm của BC)

\(\Rightarrow\)AH là đường cao của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow AH⊥BC\)tại H.

b) Xét \(\Delta BDH\)vuông tại D và \(\Delta CEH\)vuông tại E ta có:

BH = CH ( H là trung điểm của BC)

\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\)(\(\Delta ABC\)cân tại A)

\(\Rightarrow\Delta BDH=\Delta CEH\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\)BD = CE ( 2 cạnh tương ứng)

c) Ta có:

AB = AC (\(\Delta ABC\)cân tại A)

BD = CE ( cmt)

\(\Rightarrow AB-BD=AC-CE\)

\(\Rightarrow AD=AE\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\)cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\)

Mà \(\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\)

Nên \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

Mặt khác 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow\)DE // BC.

d) Nối A với I.

Ta có: 

\(\hept{\begin{cases}HE=HM+ME\left(M\in HE\right)\\HM=EN\left(gt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow HE=EN+ME\)

\(\Rightarrow HE=MN\)

Xét \(\Delta AEN\)vuông tại E ta có:

\(\hept{\begin{cases}AN^2=AE^2+EN^2\left(Pitago\right)\\AE=AD\left(cmt\right)\\EN=HM\left(gt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HM^2\)

\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HI^2-MI^2\)

\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HI^2-\left(NI^2-MN^2\right)\)

\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HI^2-NI^2+HD^2\)

\(\Rightarrow AN^2=AD^2+HD^2+HI^2-NI^2\)

\(\Rightarrow AN^2=AH^2+HI^2-NI^2\)

\(\Rightarrow AN^2=AI^2-NI^2\)

\(\Rightarrow AI^2=AN^2+NI^2\)

\(\Rightarrow\Delta ANI\)vuông tại N ( Định lý Pitago đảo)

\(\Rightarrow IN⊥AN\)tại N.