Gọi p số nguyên liên tiếp đó là: \(x,x+1,x+2,...,x+p-1\)

Ta có:

\(x+\left(x+1\right)+\left(x+2\right)+...+\left(x+p-1\right)\equiv1+2+3+...+p-1\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow x^2+\left(x+1\right)^2+\left(x+2\right)^2+...+\left(x+p-1\right)^2\equiv1^2+2^2+3^2+...+\left(p-1\right)^2\left(modp\right)\)

Ta lại có:

\(1^2+2^2+3^2+...+\left(p-1\right)^2=\frac{\left(p-1\right)p\left(2p-1\right)}{6}\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không có ước 2, 3 từ đây ta thấy được là:

\(\left(p-1\right)p\left(2p-1\right)⋮6p\)

\(\Rightarrow1^2+2^2+3^2+...+\left(p-1\right)^2=\frac{\left(p-1\right)p\left(2p-1\right)}{6}⋮p\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

a) Goi :3 số tự nhiên liên tiếp la : n, n+1, n+2 
=> tổng : n+n+1+n+2 = 3n+3 = 3(n+1) chia hết cho 3 Vậy : tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

b) Goi 2 so le lien tiep co dang 2k+1 va 2k+3

Gọi D là ước số chung của chúng.

Ta có 2n + 1 chia hết cho D và 3n + 3 chia hết cho D

Nên 2n + 3 - ( 2n+1) chia hết D hay 2 chia hết cho D

Nhưng D ko thể = 2 vì D là ước chung của 2 số lẻ

.Vậy D = 1 tức là 2 số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau!

 chúc bạn học tập tốt !!!

Gọi 3 số nguyên liên tiếp là x -1 ; x ; x + 1 .

Ta có : (x - 1)³ + x³ + (x + 1)³

= x³ - 1 - 3x(x - 1) + x³ + x³ + 1 + 3x(x + 1)

= 3x³ - 3x(x - 1 - x - 1)

= 3x³ + 6x

= 3x³ - 3x + 9x

= 3(x - 1)x(x + 1) +9x

Vì (x - 1)x(x + 1) chia hết cho 3 nên 3(x - 1)x(x + 1) chia hết cho 9

Vì 9 chia hết cho 9 nên 9x chia hết cho 9

=> 3(x - 1)x(x + 1) + 9x chia hết cho 9

=> ĐPCM

Gọi số tự nhiên là n.

Ta có:

\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\)

\(=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)

\(=3n^3+9n^2+15n+9\)

Ta lấy từng số hạng chia cho 9.

\(3n^3:9\left(R=3\right)\)

\(9n^2⋮9\)

\(15n:9\left(R=6\right)\)

\(9⋮9\)

Mà ta có hai R

\(\Rightarrow15n+3n^3=\left(3+6\right)=9⋮9\)

\(\Rightarrow\left(3n^3+9n^2+15n+9\right)⋮9\)

\(\Leftrightarrow\left(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\right)⋮9\)

Vậy tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là (a - 1), a, (a + 1) 
chứng minh: (a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3 chia hết cho 9 
=>(a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3=a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + a^3 + a^3 + 3a^2 + 3a +1 = 3a^3 + 6a 
= >3a(a^2 + 2) = 3a(a^2 - 1) + 9a 
= >3(a - 1)a(a + 1) + 9a 
ta da biet tíck của 3 sô tự nhiên liên tiếp chia hhết cho 3 nên 3(a - 1)a(a + 1) chia hết cho 9 
Mặt khác 9a chia hết cho 9 nên 
=>3(a - 1)a(a + 1) + 9a 
Hay ta được điều phải chứng minh !!!!!

Gọi 3 số nguyên liên tiếp là:  \(a-1;\)\(a;\)\(a+1\)

Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là:

     \(A=\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1\)

\(=3a\left(a^2+1\right)=3a\left(a^2-1+3\right)=3a\left(a^2-1\right)+9a\)

\(=3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)

Nhận thấy:  \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3 

=>  \(3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)chia hết cho 9;    9a chia hết cho 9

=>   A  chia hết cho 9

Gọi \(3\) số nguyên liên tiếp lần lượt là: \(\left(a-1\right);a;\left(a+1\right)\)

Chứng minh: \(\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3\) chia hết cho \(9\).

\(\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3\)

\(=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1\)

\(=3a^3+6a\)

\(=3a\left(a^2+2\right)\)

\(=3a\left(a^2-1\right)+9a\)

\(=3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)

Vì tích của \(3\) số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 nên \(3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) chia hết cho \(9\).

Mặt khác \(9a\) chia hết cho \(9\) nên:

\(\Rightarrow3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)

Ba số nguyên liên tiếp là n,n+1,n+2,ta phải chứng minh:

\(A=n^3+\left[n+1\right]^3+\left[n+2\right]^3⋮9\)

Ta có \(A=n^3+\left[n+1\right]^3+\left[n+2\right]^3=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(=3n^3-3n+18n+9n^2+9=3n\left[n-1\right]\left[n+1\right]+18n+9+9n^2\)

n,n-1,n+1 là ba số nguyên liên tiếp,trong đó một số chia hết cho 3

Vậy \(B=3n\left[n-1\right]\left[n+1\right]⋮9;C=18n+9n^2+9⋮9\)

A = B + C mà \(B⋮9,C⋮9\Rightarrow A⋮9\)