a) a > b mà b \(\in\) N* nên a \(\in\) N*

 \(a>b\Rightarrow an>bn\) (vì a,b,n \(\in\) N*)

\(\Rightarrow ab+an>ab+bn\) hay \(a.\left(b+n\right)>b.\left(a+n\right)\)

Do đó \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\). Đề sai. 

fhfgjjgjgf

đề sai rùi bạn

a) Vì a > b

=> a.n > b.n

=> a.n + a.b > b.n + a.b

=> a.(b + n) > b.(a + n)

=> a/b > a+n/b+n ( đpcm)

Câu b và c lm tương tự

Ac. Có bài giải lúc nào vậy.

Ta có   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a

1) Nếu a = -b thì  \(a^{2n+1}+b^{2n+1}=-b^{2n+1}+b^{2n+1}=0\)và  \(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=\frac{1}{-b^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=0\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại suy ra đpcm.

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{cases}}\)

Với \(a+b=0\)thì

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\\\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại ta có điều phải chứng minh.

Vì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)\(\Rightarrow\frac{a^n}{c^n}=\frac{b^n}{d^n}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^n}{c^n}=\frac{b^n}{d^n}=\frac{a^n-b^n}{c^n-d^n}=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}\left(đpcm\right)\)

\(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\) \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+n\right)< b\left(a+n\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+an< ab+bn\)

\(\Leftrightarrow an< bn\)

\(Do.a< b\)nên an<bn\(\Rightarrow\)(1)

\(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)\(\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+n\right)>b\left(a+n\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+an>ab+bn\)

\(\Leftrightarrow an>bn\)

Do a>b nên \(\Rightarrow\)(2)

a)(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=a(ab+bc+ac)+b(ab+bc+ac)+c(ab+bc+ac)-abc

=a²b+abc+a²c+ab²+b²c+abc+abc+bc²+ac²-abc

=(abc+a²b)+(a²c+ac²)+(b²c+ab²)+(bc²+abc)+(abc-abc)

=ab(c+a)+ac(c+a)+b²(c+a)+bc(c+a)

=(ab+ac+b²+bc)(c+a)

=(a+b)(b+c)(c+a)

a) \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+c^2b+c^2a-abc\)

\(=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c+2abc=b\left(a^2+2ac+c^2\right)+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)\)

\(=b\left(a+c\right)^2+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)=\left(a+c\right)\left(ab+bc+b^2+ac\right)\)

\(=\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)=abc\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)(áp dụng từ câu a) )

\(\Rightarrow a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)

Đặt \(a^{2n+1}=x;b^{2n+1}=y;c^{2n+1}=z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)( áp dụng câu a) )

\(\Rightarrow x+y=0\)hoặc \(y+z=0\)hoặc \(z+x=0\)

Mà ta lại có \(a+b=0\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\)(luôn đúng)

Tương tự với các trường hợp còn lại, ta có điều phải chứng minh.

\(\)