(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15

= [ (x+1)(x+7) ].[ (x+3)(x+5) ] + 15

= (x² + 7x + x + 7).(x² + 5x + 3x + 15) + 15

= (x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15

= (x² + 8x + 11 - 4)(x² + 8x + 11 + 4) + 15.

Đặt x² + 8x + 11 = y (1) ta được :

(t - 4)(t + 4) + 15 = t² - 16 + 15 = t² - 1 = (t+1)(t-1) (2).

Thay (1) vào (2) ta được: đa thức trên được phân tích thành:

(x² + 8x + 11 + 1)(x² + 8x + 11 - 1)

= (x² + 8x + 12)(x² + 8x + 10).

Chúc bn học tốt!

\(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+15\)

\(=x^4+9x^3+23x^2+15x+7x^3+63x^2+161x+105+15\)

\(=x^4+16x^3+86x^2+176x+120\)

\(=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x^2+8x+10\right)\)

\(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+15\)

=\(\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)+15\)

=\(\left(x^2+8x+7\right)\)\(\left(x^2+8x+15\right)+15\) (1)

Đặt \(x^2+8x+11=a\) thay vảo (1) đc:

\(\left(a-4\right)\left(a+4\right)+15=a^2-16+15=a^2-1\)=\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)=\((x^2+8x+10)\left(x^2+8x+12\right)\)

P\(=\dfrac{3}{\left(1.2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2.3\right)^2}+.....+\dfrac{4033}{\left(2016.2017\right)^2}\) \(=\dfrac{3}{1.4}+\dfrac{5}{4.9}+.......+\dfrac{4033}{2016^2.2017^2}\) \(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+....+\dfrac{1}{2016^2}-\dfrac{1}{2017^2}\) =1\(-\dfrac{1}{2017^2}\) Do `1\(-\dfrac{1}{2017^2}\) <1\(\Rightarrow\) P<1 ( ĐPCM)

P = \(\dfrac{3}{\left(1.2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2.3\right)^2}+\dfrac{7}{\left(3.4\right)^2}+...+\dfrac{4033}{\left(2016.2017\right)^2}\)

P = \(\dfrac{3}{1.4}+\dfrac{5}{4.9}+\dfrac{7}{9.16}+...+\dfrac{4033}{\left(2016.2017\right)^2}\)

P = \(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}+...+\dfrac{1}{2016^2}-\dfrac{1}{2017^2}\)

P = \(1-\dfrac{1}{2017^2}\)

⇒ P < 1

⇒ ĐPCM

\(\left(1+\dfrac{7}{9}\right).\left(1+\dfrac{7}{20}\right).\left(1+\dfrac{7}{33}.\right)\left(1+\dfrac{7}{48}\right)...\left(1+\dfrac{7}{180}\right)\)

\(=\dfrac{16}{9}.\dfrac{27}{20}.\dfrac{40}{33}.\dfrac{55}{48}...\dfrac{7}{180}\)

\(=\dfrac{2.8}{1.9}.\dfrac{3.9}{2.10}.\dfrac{4.10}{3.11}.\dfrac{5.11}{4.12}...\dfrac{11.17}{10.18}\)

\(=\dfrac{\left(2.3.4.5...11\right).\left(8.9.10.11...17\right)}{\left(1.2.3.4...10\right).\left(9.10.11.12...18\right)}\)

\(=\dfrac{11.8}{1.18}=\dfrac{88}{18}=\dfrac{44}{9}\)

ta có ;

\(\left(1+\dfrac{7}{9}\right)\cdot\left(1+\dfrac{7}{20}\right).\left(1+\dfrac{7}{33}\right)...\left(1+\dfrac{1}{180}\right)\)

=\(\dfrac{16}{9}.\dfrac{27}{20}.\dfrac{40}{33}....\dfrac{187}{180}\)

=\(\dfrac{8.2}{9.1}.\dfrac{9.3}{10.2}.\dfrac{10.4}{3.11}.\dfrac{11.5}{4.12}....\dfrac{17.11}{18.10}\)

=\(\dfrac{8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11}{9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10}\)

=\(\dfrac{8.11}{18}=\dfrac{88}{18}=\dfrac{44}{9}\)

trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3

=> 7ⁿ;(7ⁿ+1);7ⁿ+2 có 1 số chia hết cho 3

vì 7ⁿ không chia hết cho 3

=>(7ⁿ+1) hoặc (7ⁿ+2) chia hết cho 3

=> (7ⁿ+1).(7ⁿ+2) chia hết cho 3

Áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân và phép cộng ta có :

\(\left(7^n+1\right).\left(7^n+2\right)=7^n.\left(1+2\right)\)

\(=7^n.3\)

\(\Rightarrow7^n.\left(1+2\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(7^n+1\right).\left(7^n+2\right)⋮3\)(Đpcm)

Xét ba số tự nhiên liên tiếp là 17^n;17^n +1 và 17^n +2

Vì trong ba số liên tiếp Cómột số chia hết cho 3 mà 17^n Không chia hết cho 3 nên 17^n +1 cha hết cho 3 hoặc 17^n +2 chia hết cho 3. Do đó tích : A=(17^n +1)*(17^n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên

Vậy A chia hết cho ba với mọi n là số tự nhiên

Ta có :

\(17^n+1=\left(17+1\right)\left(17^{n-1}-17^{n-2}+17^{n-3}-......+17^2-17+1\right)\)

\(=18\left(17^{n-1}-17^{n-2}+17^{n-3}-.....+17^2-17+1\right)⋮3\)

Do đó : \(\left(17^n+1\right)\left(17^n+2\right)⋮3\) (ĐPCM)

Ta có: \(17^n\div3\) dư \(1\) hoặc dư \(2\)

Nếu \(17^n\div3\) dư \(1\Rightarrow17^n+2⋮3\Rightarrow\left(17^n+1\right)\left(17^n+2\right)⋮3\)

Nếu \(17^n\div3\) dư \(2\Rightarrow17^n+1⋮3\Rightarrow\left(17^n+1\right)\left(17^n+2\right)⋮3\)

Vậy \(A=\left(17^n+1\right)\left(17^n+2\right)⋮3\) (Đpcm)

a) Ta có:

\(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì trong 3 số nguyên liên tiếp, có ít nhất 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 2 nên tích n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 hay \(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6(đpcm).

b) Ta có:

\(20^{n+1}-20^n=20^n\cdot19\)

Vì \(20^n\) là số nguyên nên \(20^n\cdot19⋮19\). Hay \(20^{n+1}-20^n⋮19\left(đpcm\right)\)

đây

đây

đây

3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ - 2ⁿ = 3ⁿ . 3² - 2ⁿ. 2² +3ⁿ -2ⁿ

                             = 3ⁿ(3²+1) - (2ⁿ.2² +2ⁿ)

                             =3ⁿ . 10 - 2ⁿ .5

                             =3ⁿ.10 - 2^n-1 .2 .5

                             = 3ⁿ.10 - 2^n-1 .10

                             = 10(3ⁿ - 2^n-1)

vì 10 chia hết cho 10 nên 10(3ⁿ-2^n-1) chia hết cho 10

                         =>  3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ -2ⁿ chia hết cho 10

Ai làm nhanh nhất mình sẽ **** xin cảm ơn các bạn mình đang cần gấp