I, J, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B, C; H là giao điểm ba đường cao

M, N, P lần lượt là trung điểm của BC , AC, AB

D, E, F lần lượt là trung điểm của HA,  HB, HC

O là giao điểm của NE và PF

+)  NP là đường trung bình tam giác ABC => NP//=1/2 BC (1)

EF là đường trung bình tam giác HCB => EF//=1/2 BC (2)

Từ (1), (2) => NFEP là hình bình hành (3)

NF là đường trung bình tam giác ACH => NF//AH=> NF//AI mà AI vuông BC , BC//EF => NF vuông EF (4)

Từ (3), (4) => NFEP là hình chữ nhật  => Tâm đường tròn ngoại tiếp NFEP  là O giao của FP và NE

và O là trung điểm FP, O là trung điểm NE

+)  Tương tự NDEM là hình chữ nhật => Tâm đường tròn ngoại tiếp NDEM là O ( trung điểm NE)

=> O là trung điểm DM

+)  Tam DIM vuông tại I => Tâm đường tròn ngoại tiếp DIM là O trung điểm DM

+) Tương tự O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FJP, EKN

=> Vậy 9 điểm trên cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính  NE

Câu hỏi của Mavis Vermillion - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath Em tham khảo ở link này nhé!

Hình tự vẽ nha <3

Vẽ \(AH\)cắt \(BC\)tại \(K\)

Ta có: \(AK\perp BC\)

Gọi \(S\)(Khác \(D\)) là giao điểm của 2 đường trong \(O_1;O_2\)

Xét đường tròn \(O_1\)có: \(\widehat{SDB}=\widehat{SMC}\)

Ta có: \(\widehat{SMC}=\widehat{SNA}\Rightarrow AMSN\)nội tiếp.

Mặt khác:  \(\widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^0\Rightarrow AMHN\) nội tiếp

Vì vậy 5 điểm \(A,M,S,H,N\)cùng thuộc đường tròn.

\(\widehat{NSA}=\widehat{NHA}\)Mà \(\widehat{NHA}=\widehat{DBN}\Rightarrow\widehat{NSA}=\widehat{DBN}\)

Ta có: \(\widehat{NSA}+\widehat{DSN}=\widehat{DBN}+\widehat{DSN}=180^0\)

\(\Rightarrow A,D,S\)thằng hàng.

Ta lại có: \(\widehat{ASH}=\widehat{HMA}=90^0\Rightarrow HS\perp DA\)

Và: \(\widehat{PSD}=90^0\)(Góc nội tiếp chắn đường tròn)

\(\Rightarrow PS\perp DA\)

Và: \(\widehat{QSD}=90^0\)(Góc nội tiếp chắn đường tròn)

\(\Rightarrow QS\perp DA\)

Từ trên ta suy ra: Các đường thẳng \(SH;PS;QS\)trùng nhau.

\(\Rightarrow P,H,Q\)thằng hàng (đpcm)