a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3

MInA=3<=>x=y=z=1

b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)

Bài làm:

Ta có: \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

Mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{16}\)

Thay vào ta tính được:

\(M\ge2\sqrt{x^2y^2\cdot\frac{1}{256x^2y^2}}+\frac{255}{256\cdot\frac{1}{16}}+2\)

\(=\frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2=\frac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_M=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Đánh máy xong hết lại bấm hủy-.-

A = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(=\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)

\(\ge\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]^2=\frac{1}{2}\left(1+4\right)^2=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2

Vậy GTNN của A = 25/2 tại x = y = 1/2

Ta có :

\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(=x^2+\frac{1}{x^2}+2+y^2+\frac{1}{y^2}+2\)

\(=4+\left(x^2+y^2\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)

\(\ge4+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2\sqrt{\frac{1}{\left(xy\right)^2}}\)

\(=4+\frac{1}{2}+\frac{2}{xy}\ge4+\frac{1}{2}+\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=4+\frac{1}{2}+8=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\) ; \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=\left(x^2+y^2\right)+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\ge\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4^2}}=\frac{17}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2

Em không chắc em làm đúng không nhưng ra kết quả khác cô Chi. Sai thì cô bỏ qua cho em ạ

\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\). Dễ thấy \(0< xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=t+\frac{t}{t}\)trên \((0;\frac{1}{4}]\). Lấy t₁<t₂ \(\in(0;\frac{1}{4}]\)

Xét \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\left(1-\frac{1}{t_1t_2}\right)\)Vì \(t_1;t_2\in(0;\frac{1}{4}]\Rightarrow1< \frac{1}{t_1t_2}\)

Từ đó dễ ràng nhận ra: \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)>0\)Vậy \(f\left(t\right)\)nghịch biến trên \((0;\frac{1}{4}]\)

Do đó mà \(f\left(\frac{1}{4}\right)\le f\left(t\right)\forall t\in(0;\frac{1}{4}]\). Hay \(\frac{17}{4}\le f\left(t\right)\forall t\in(0;\frac{1}{4}]\)

=> \(\frac{17}{4}\le xy+\frac{1}{xy}\Rightarrow\frac{287}{16}\le\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=P\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)