a)(\(\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\)).(\(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}\))

=\(\sqrt{2006}^2-\sqrt{2005}^2\)

=2006-2005

=1

\(VT=\frac{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}{3.\left(2-1\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{5\left(3-2\right)}+...+\frac{2\left(\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\right)}{4011\left(2006-2005\right)}\)

\(VT=\frac{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}{3}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{5}+...+\frac{2\left(\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\right)}{4011}\)

Nhận xét: (a-b)² \(\ge\) 0 => a² + b²  \(\ge\) 2ab

Áp dụng ta có: \(3=\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{1}\right)^2\ge2.\sqrt{2}.\sqrt{1}\)

\(5=\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2\ge2.\sqrt{3}.\sqrt{2}\)

...

\(4011=\left(\sqrt{2006}\right)^2+\left(\sqrt{2005}\right)^2\ge2.\sqrt{2006}.\sqrt{2005}\)

=> \(VT

Có lẽ là làm như vầy ạ:

Ta thấy số hạng tổng quát của tổng có dạng \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\) với n là số tự nhiên thỏa mãn: \(1< n< 2006\)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)(áp dụng hằng đẳng thức : a² - b² = (a-b)(a+b) vào cái mẫu)

Do vậy: \(S=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2006}}\)

\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2005}-\sqrt{2004}+\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\)

\(=-\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)+...+\left(\sqrt{2005}-\sqrt{2005}\right)+\sqrt{2006}\) (gom hết các số hạng giống nhau bỏ vô ngoặc)

\(=\sqrt{2006}-\sqrt{2}\)

Vậy \(S=\sqrt{2006}-\sqrt{2}\)

Bài lớp 9 này hơi quá trình độ lớp 7 của em (có gì sai sót xin thông cảm cho ạ)!