Bài 6: Cho đa thức f(x) với các hệ số nguyên : f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0. Chứng minh rằng nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ ( tối giản) thì P là ước của a0; q là ước của an
help me please
cho các đa thức sau :
f(x)= anxn + an-1xn-1+...+a1x +a0
g(x)= bnxn+bn-1xn-1+...+b1x+b0
a) tính f(x) + g(x)
b) tính f(x) - g(x)
Cho các đa thức:
f(x) = anxn + an – 1xn– 1 + … + a1x + ao
g(x) = bnxn + bn – 1xn– 1 + … + b1x + bo
Tính f(x) + g(x)
f(x) = anxn + an – 1xn– 1 + … + a1x + ao
+
g(x) = bnxn + bn – 1xn– 1 + … + b1x + bo
--------------------------------------------------------
f(x) + g(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn – 1)xn– 1 + ….. + (a1 + b1)x + (ao + bo)
Cho các đa thức:
f(x) = anxn + an – 1xn– 1 + … + a1x + ao
g(x) = bnxn + bn – 1xn– 1 + … + b1x + bo
Tính f(x) – g(x)
f(x) = anxn + an – 1xn– 1 + … + a1x + ao
-
g(x) = bnxn + bn – 1xn– 1 + … + b1x + bo
--------------------------------------------------------
f(x) - g(x) = (an - bn)xn + (an– 1 - bn – 1)xn– 1 + ..… + (a1 - b1)x + (ao - bo)
Khai triển biểu thức 1 - 2 x n ta được đa thức có dạng a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n . Tìm hệ số của x 5 biết a 0 + a 1 + a 2 = 71
A. -648
B. -876
C. -672
D. -568
Cho đa thức f(x) = ( 1 + 3 x ) n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . . + a n x n ( n ∈ ℕ * ) . Tìm hệ số a 3 , biết rằng: a 1 + 2 a 2 + . . . . + n a n = 49152n
A. a 3 = 945
B. a 3 = 252
C. a 3 = 5670
D. a 3 = 1512
Chọn D
Đạo hàm hai vế f(x)
Số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển thành đa thức của
Trong khai triển 1 + 2 x n = a 0 + a 1 x + ... + a n x n , n ∈ ℕ * . Tìm số lớn nhất trong các hệ số a 0 , a 1 , ... , a n , biết a 0 + a 1 2 + ... + a n 2 n = 4096 .
A. 126720.
B. 213013.
C. 130272.
D. 130127.
Trong khai triển 1 + 2 x n = a 0 + a 1 x + ... + a n x n , n ∈ ℕ * . Tìm số lớn nhất trong các hệ số a 0 , a 1 ,..., a n , biết a 0 + a 1 2 + ... + a n 2 n = 4096
A. 126720
B. 213013
C. 130272
D. 130127
Đáp án A
Theo đề ta có 1 + 2 x n = a 0 + a 1 x + .... + a n x n .
Thay x = 1 2 ta có 1 + 1 n = a 0 + a 1 2 + a 2 2 2 + ... + a n 2 n = 4096 .
⇔ 2 n = 4096 ⇔ n = 12
Hệ số của số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức 1 + 2 x 12 là a n = C 12 n .2 n ; a n − 1 = C 12 n − 1 .2 n − 1
Xét bất phương trình với ẩn số n ta có C 12 n − 1 .2 n − 1 ≤ C 12 n .2 n .
⇔ 12 ! n − 1 ! . 13 − n ! ≤ 12 ! .2 n ! . 12 − n ! ⇔ 1 13 − n ≤ 2 n ⇔ n ≤ 26 3
Do đó bất đẳng thức đúng với n ∈ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 và dấu đẳng thức không xảy ra.
Ta được a 0 < a 1 < a 2 < ... < a 8 và a 8 > a 9 > a 10 > a 11 > a 12 .
Vậy giá trị lớn nhất của hệ số trong khai triển nhị thức là C 12 8 .2 8 = 126720 .
Cho đa thức \(P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) (các hệ số là số nguyên)
Chứng minh rằng nếu P(x) có một nghiệm \(x=x_0\)nhận giá trị nguyên (\(\ne0\)) thì x0 là một ước của a0
Gỉa sử P(x) có một nghiệm nguyên là \(x_0\left(x_0\ne0\right)\)
Ta có \(P\left(x\right)=a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+...+a_1x_0+a_0=0.\)
Như vậy \(P\left(x_0\right)=0⋮x_0\)và các số hạng \(a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+...+a_1x_0\)đều chia hết cho \(x_0\), suy ra \(a_0\)cũng phải chia hết \(x_0\)tức \(x_0\)là ước của \(a_0\)
Cần được giải thích ạ:
Chứng minh rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng pqpqtrong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
*Chứng minh:
Giả sử đa thứ a0xn + a1xn-1+...+an-1x + an với các hệ số a0, a1, ..., an nguyên, có nghiệm hữu tỉ là x=pqpq, trong đó p,q thuộc Z, q>0, (p,q)=1
=> a0xn + a1xn-1+...+an-1x + an = (qx-p)(b0xn-1 + b1xn-2+...+bn-1)
Ta có: -pbn-1 = an.qb0 = a0 nên p là ước của an, còn q là ước dương của a0 (Em cần giải thích dòng này ạ)