VP=\(A^2X^2+B^2Y^2+C^2Z^2+A^2Y^2+B^2X^2+A^2Z^2+C^2X^2+B^2Z^2+C^2Y^2\)

=\(A^2\left(X^2+Y^2+Z^2\right)+B^2\left(X^2+Y^2+Z^2\right)+C^2\left(X^2+Y^2+Z^2\right)\)

=\(\left(X^2+Y^2+Z^2\right)\left(A^2+B^2+C^2\right)\)

\(\left(A-B\right)^2+4AB=A^2-2AB+B^2+4AB=\)\(A^2+2AB+B^2\)

Bản chất của chúng tương đương nhau , 1 số trường hợp dùng dẳng thức trên nhằm mục đích làm xuất hiện nhân tử chung ....

a: \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

\(=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2\)

\(=a^4+2a^2b^2+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2\)

b: \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)

\(=c^2\left(a^2+b^2\right)+d^2\left(a^2+b^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

c: \(\left(ax+b\right)^2+\left(a-bx\right)^2+c^2x^2\)

\(=a^2x^2+b^2+a^2+b^2x^2+c^2x^2\)

\(=a^2\left(x^2+1\right)+b^2\left(x^2+1\right)+c^2x^2\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)+c^2x^2\)

2. CM đẳng thức

a) \(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\)

Ta có: \(VP=\left(a+b\right)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2=VT\)

b) \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\)

Ta có: \(VP=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=a^4+2a^2b^2+b^4-2a^2b^2=a^4+b^4=VT\)

\(a)\)  \( 49(y-4)^2-9(y+2)^2\)

\(=[7(y-4)]^2-[3(y+2)]^2\)

\(=[7(y-4)-3(y+2)][7(y-4)+3(y+2)]\)

\(=(7y-28-3y-6)(7y-28+3y+6)\)

\(=(4y-34)(10y-22)\)

\(b)\)   \((a^2+b^2-5)^2-2(ab+2)^2\)

\(=\left(a^2+b^2-5\right)^2-\left[\sqrt{2}\left(ab+2\right)\right]^2\)

Xem lại đề...

a) Biến đổi VT . Mẫu chung là ( a + 2b )( a - 2b )

\(VT=\frac{a+2b-6b-2\left(a-2b\right)}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 1 )

Biến đổi VP 

\(-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2+4b^2+a^2-4b^2}{a^2-4b^2}\)

\(=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP ( đpcm )

b) \(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)

<=> \(b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)-a^3\)( * )

Biến đổi VT của ( * ) ta có :

\(VT=\left[b+\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right]\left[b^2-\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}+\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}\right]\)

\(=\frac{3a^3b}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^6b^2+3a^3b^5+3b^8}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 1 )

\(VP=\left[\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}-a\right]\left[\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}+\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}+a^2\right]\)

\(=\frac{3ab^3}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^8+3a^5b^3+3a^2b^6}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)

\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP => ( * ) đúng 

=> Hằng đẳng thức đúng 

(2a-b)² - 2 x ( 2a-b) x (a+b) + (a + b)²

= [(2a-b) - (a+b)]²

Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=m\\b+c=n\\c+a=p\end{cases}}\)

Xem VT = A

\(\Rightarrow A=m^2+n^2+p^2-mn-np-mp\)

\(2A=\left(m-n\right)^2+\left(n-p\right)^2+\left(p-m\right)^2\)

\(=\left(a+b-b-c\right)^2+\left(b+c-c-a\right)^2+\left(c+a-a-b\right)^2\)

\(=\left(a-c\right)^2+\left(b-a\right)^2+\left(c-b\right)^2\)

\(=a^2-2ac+c^2+b^2-2ab+a^2+c^2-2bc+b^2\)

\(=2\left(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)

\(\Rightarrow A=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)(đpcm)