a) Thay m=1 vào phương trình, ta được:

\(x^4-4x^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2-5x^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+1\right)-5\left(x^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-5\right)=0\)

mà \(x^2+1>0\forall x\)

nên \(x^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=5\)

hay \(x\in\left\{\sqrt{5};-\sqrt{5}\right\}\)

Vậy: Khi m=1 thì tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left\{\sqrt{5};-\sqrt{5}\right\}\)

Phương trình

( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 ) = m < = > ( x 2 + 2 x − 8 ) ( x 2 + 2 x − 15 ) = m ( 1 )

Đặt  x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1 ) 2 = y ( y ≥ 0 ) phương trình (1) trở thành:

( y − 9 ) ( y − 16 ) = m < = > y 2 − 25 y + 144 − m = 0 ( 2 )

Nhận xét: Với mỗi giá trị y > 0 thì phương trình: (x+1)²=y có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệtÛ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Δ ' > 0 S > 0 P > 0 < = > Δ ' = 4 m + 49 > 0 25 > 0 144 − m > 0 < = > − 49 4 < n < 144

Vậy với  − 49 4 < n < 144  thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. 

Phương trình theo đề bài là phương trình bậc 2, cao nhất là có 2 nghiệm phân biệt nên để thỏa mãn có 2 hoặc 4 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow m\in\varnothing\)

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\left(x^2-x-m\right)\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-x-m=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Giả sử (1) có nghiệm thì theo Viet ta có \(x_1+x_2=1>0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm dương nếu có nghiệm

Do đó:

a. Để pt có 1 nghiệm \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm 

\(\Leftrightarrow\Delta=1+4m< 0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{4}\)

b. Để pt có 2 nghiệm pb 

TH1: (1) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

\(\Leftrightarrow m=0\)

TH2: (1) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow x_1x_2=-m< 0\Leftrightarrow m>0\)

\(\Rightarrow m\ge0\)

c. Để pt có 3 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1+4m>0\\x_1x_2=-m>0\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}< m< 0\)

\(\Leftrightarrow4\left|x^2-x-m\right|=4\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left|\left(2x-1\right)^2-4m-1\right|=4\left(2x-1\right)\)

Đặt \(2x-1=t\), với mỗi nghiệm t sẽ cho đúng 1 nghiệm x tương ứng

\(\Rightarrow\left|t^2-4m-1\right|=4t\) (\(t\ge0\))

\(\Rightarrow\left(t^2-4m-1\right)^2=16t^2\) (1)

Đặt \(t^2=a\ge0\) , với mỗi nghiệm \(a\ge0\) sẽ cho đúng 1 nghiệm t không âm tương ứng, đồng nghĩa cho đúng 1 nghiệm x tương ứng

(1) \(\Rightarrow\left(a-4m-1\right)^2=16a\) (2)

Do 2 là pt bậc 2 nên chỉ có tối đa 2 nghiệm

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho có tối đa 2 nghiệm

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

Phương trình này có thể có 3 nghiệm, nhưng không thể có 3 nghiệm phân biệt

Nếu là 3 nghiệm thì 1 trong 3 nghiệm chắc chắn phải là nghiệm kép

ĐKXĐ: \(x\ge-3\)

Đặt \(\sqrt{x+3}=t\ge0\Rightarrow x=t^2-3\)

Pt trở thành: \(t^2-3-4t+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t-5=-m\)

Từ đồ thị ta thấy đường thẳng \(y=-m\) cắt đường thẳng \(y=t^2-4t-5\) tại 2 điểm pb thỏa mãn \(t\ge0\) khi và chỉ khi: \(-9< m\le-5< \)

\(\Rightarrow5\le m< 9\)

đặt m+1=t

\(\Leftrightarrow x^2-4tx+t=0\Leftrightarrow x^2-4tx+4t^2+t-4t^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2t\right)^2=4t^2-t\)

để 2 có nghiệm   \(\Rightarrow4t^2-t>0\) \(\Leftrightarrow t\left(4t-1\right)>0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t< 0\\t>\frac{1}{4}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m< -1\\m>-\frac{3}{4}\end{cases}}\)