Với mọi số dương a,b,c,d CMR
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\) > hoặc bằng 2
với các số a,b,c,d dương hãy chứng minh
\(F=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}>2\)
HOẶC BẰNG 2
Áp dụng BĐT Svác - xơ.
\(F=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ba+ca}+\frac{b^2}{cb+db}+\frac{c^2}{dc+ac}+\frac{d^2}{ad+bd}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ba+ca+bd+db+dc+ac+ad+bd}\)(1)
Xét: \(\left(a+b+c+d\right)^2-2\left(ba+ca+bd+db+dc+ac+ad+bd\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2-2bd-2ac\)
\(=\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)
=> \(\left(a+b+c+d\right)^2\ge2\left(ba+ca+bd+db+dc+ac+ad+bd\right)\)
=> \(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ba+ca+bd+db+dc+ac+ad+bd}\ge2\)(2)
Từ ( 1); (2) => \(F\ge2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d.
cho a,b,c,d là các số dương. cmr
a, \(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}\frac{d}{d+a+b}< 2\)
b, \(2< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}< 3\)
Với a,b,c,d dương, CMR:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}>=2\)
chứng minh rằng : Với mọi số dương a, b, c, d ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
Xét BĐT phụ \(\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge\frac{2a-b}{2}\)\(\Leftrightarrow b\left(a-b\right)^2\ge0\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge\frac{2b-c}{2};\frac{c^3}{c^2+d^2}\ge\frac{2c-d}{2};\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{2d-a}{2}\)
Cộng lại theo vế ta có:
\(VT\ge\frac{2a-b}{2}+\frac{2b-c}{2}+\frac{2c-d}{2}+\frac{2d-a}{2}\)
\(=\frac{2a-b+2b-c+2c-d+2d-a}{2}=\frac{a+b+c+d}{2}\)
Vậy BĐT đc chứng minh
Cho các số dương a,b,c,d. CMR: \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{4}{c}\)+\(\frac{16}{d}\)luôn lớn hơn hoặc bằng \(\frac{64}{a+b+c+d}\)
có thể áp dụng luôn công thức tổng quát của btp nhé
Tổng quát \(\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+...+\frac{a_n^2}{x_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{x_1+x_2+...+x_n}\)(với x1,x2,...xn >0 )
phải c/m nhé
BTP :\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(với mọi abxy, x,y>0) đây còn đc cọi bđt cauchy schwarz )
c/m k có gì khó. nhân chéo quy đồng ( tự c/m nhé )
Đặt \(A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\)
Áp dụng liên tục btp ta được \(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)(dpcm)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c/2=d/4
Với các số dương a,b,c,d sao cho\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}=1.\)CM: abcd nhỏ hơn hoặc bằng 1/81
\(1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{1+a}=\frac{c}{c+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\Rightarrow\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)
cmtt rồi nhân 3 cái lại vs nhau => đpcm
Cho a,b,c,d là 4 số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=1.CMR:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{1}{2}\)
Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)
Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
Bunyakovsky dạng phân thức
Theo bất đẳng thức Svacxo :
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Cho\(S=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\) với a,b,c,d là các số nguyên dương.
CMR: S không phải là số tự nhiên
Với a,b,c,d là các số nguyên dương ta luôn có :
\(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Tương tự : \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}< S< \frac{2.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\rightarrow1< S< 2\)
Do đó , S không là số tự nhiên.
\(\frac{d}{ưưda}ư\)
Cho a, b, c, d là các số thực dương. CMR :
a) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
b) \(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)