1/. Xét Tứ giác AEHF, có:

E = 90 (EH vuong góc AB)

F = 90 (HF vuong AC)

A = 90 (ABC vuong tai A)

=> AEHF là hcn

2/. Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC => AM =1/2BC  => AM =MB = MC = 2,5 cm

=> BC = 2,5 x2 = 5cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, có:

AB^2 +AC^2 =BC^2

9+AC^2 = 25

=> AC^2 = 25-9 = 16

=> AC =4cm

Diện tích tam giác ABC: 1/2AB.AC = 1/2(.3.4 )= 6cm^2

3/. Gọi K là giao điểm của EF và AM, J là giao điểm của EF và AH

CM: góc AEK = góc ABC

Vì J là giao điểm của 2 đường chéo trong hcn AEHF => ẠJ = JH = Ẹ = JF

=> tam giác EJA cân tại J => AEJ = EAH (1)

Xét tam giác vuông ABH => EAH +ABC = 90

Xét tam giác vuông ABC=> ABC + ACB = 90

=> EAH = ACB  và (1) => ACB = AEJ  (2)

Vì  AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC => AM = BM = MC

=> tam giác ABM cân tại M => EAK = ABC (3)

Xét tam giác EAK: có: AEJ + EAK = ACB + ABC  = 90 ( do 2 và 3)

=> tam giác AEK vuong tại K 

Hay AM vuông EF

4/. Vì A đới xứng với I qua BC => AI vuông góc với BC . Mà AH vuong với BC => A. H , I thẳng hàng . hay H là trung điểm của AI

Xét tam giác AID, có: 

H là trung ddierm của AI, M là trung điểm của AD 

=> HM là đường trung bình của tam giác AID => HM // ID

=> tứ giác BIDC là hình thang

Xét tam giác ABI , có: BH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến => ABI cân tại B => IBH = ABH (BH là đường phân giác) (4)

Xét tứ giác ABCD có: 

M là trung điểm BC

M là trung điểm AD

M = BC giao AD

=> ABCD là hình bình hành và A = 90 => ABCD là hình chữ nhật

=> DCB = ABC (DC // AB và solle trong) (5)

Từ 4 và 5 => BCD = IBC (= ABC) => Hình thang BIDC là hình thang cân

1/. Xét Tứ giác AEHF, có:

E = 90 (EH vuong góc AB)

F = 90 (HF vuong AC)

A = 90 (ABC vuong tai A)

=> AEHF là hcn

2/. Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC => AM =1/2BC  => AM =MB = MC = 2,5 cm

=> BC = 2,5 x2 = 5cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, có:

AB^2 +AC^2 =BC^2

9+AC^2 = 25

=> AC^2 = 25-9 = 16

=> AC =4cm

Diện tích tam giác ABC: 1/2AB.AC = 1/2(.3.4 )= 6cm^2

3/. 

1/. Xét Tứ giác AEHF, có:

E = 90 (EH vuong góc AB)

F = 90 (HF vuong AC)

A = 90 (ABC vuong tai A)

=> AEHF là hcn

2/. Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC => AM =1/2BC  => AM =MB = MC = 2,5 cm

=> BC = 2,5 x2 = 5cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, có:

AB^2 +AC^2 =BC^2

9+AC^2 = 25

=> AC^2 = 25-9 = 16

=> AC =4cm

Diện tích tam giác ABC: 1/2AB.AC = 1/2(.3.4 )= 6cm^2

3/. Gọi J là giao điểm của EF và AH, K là giao điểm của EF và AM

Vì J là trung điểm của 2 đường chéo trong hcn AEHF => AJ = JE = JH = JF 

=> Tam giác AJE cân tại J => EAH = AEK (1)

Tá Có: EAH + ABH = ABH + ACH (=90) => EAH =ACH (2)

Từ (1) và (2) => AEK = ACH (3)

Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC => AM = MB = MC

=> Tam giác ABM cân tại M => EAK = ABM (4)

Xét tam giác EAK, có: EAK + AEK = ABM + ACH = 90 (do 3 và 4)

=> tam giác EAK cân tại  K => AM vuông góc với EF

4/. Vì A và I đối xứng với nhau qua BC => AI vuong BC , mà AH vuong bC => AI trùng AH => A, H , I thẳng hàng hay H là trung điểm của AI

Xét tam giác AID, có: AH = HI, AM = MD 

=> HM là đường trung bình của tam giác AID => HM // ID hay BC //ID

=> BIDC là hình thang

Vì BH vừa là đương cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABI => BIA cân tại B => BH là đường phân giác => ABC = CBI (5)

Xét tứ giác ABCD, có: 

M là trung điểm của Bc và M là trung điểm của AD => ABCD là hình bình hành và A = 90 => ABCD là hcn => AB //DC

=> DCB = ABC (slt) (6)

Từ 5 và 6 => IBC = DCB ( = ABC)

Vậy hình thang BIDC là hình thang cân (2 góc kề cạnh đáy =)

1: Xét tứ giác AEHF có góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

nên AEHF là hình chữ nhật

2: AM=2,5cm nên BC=5cm

=>AC=4cm

S=3x4/2=6cm²

3: 

Xét tứ giác AEHF có góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

nên AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: góc AFE=góc AHE=góc ABC

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>góc MAC=góc ACB

=>góc MAC+góc EFA=90 độ

=>AM vuông góc với EF

4: 

Xét ΔADI có

H,M lần lượt là trung điểm của AI và AD

nên HM là đường trung bình

=>HM//DI

=>DI//BC

Xét ΔCIA có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCIA cân tại C

=>CI=CA=DB

=>BIDC là hình thang cân

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AH

nên O là trung điểm của DE

c: Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>DH=AE và DH//AE

Ta có: DH//AE
M\(\in\)AE

Do đó: DH//AM

Ta có: DH=AE

AE=AM

DO đó: DH=AM

Xét tứ giác AHDM có

DH//AM

DH=AM

Do đó: AHDM là hình bình hành

=>AH//MD

=>AO//MD

a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay ΔABC vuông tại A

Câu b: Xet tg vuông AEH và tg vuông ABC có

^BAH = ^ACB (cùng phụ với ^ABC)

=> Tg AEH đồng dạng với tg ABC \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{EH}{AB}\) mà EH=AF (cạnh đối HCN)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

Câu c: 

Ta có AM=BC/2==BM=CM (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMC cân tại M => ^MAC = ^ACB mà  ^BAH = ^ACB (cmt)  => ^MAC = ^BAH (1)

Ta có ^AHE = ^ABC (cùng phụ với ^BAH) mà ^AHE = ^HAC (góc so le trong) => ^ABC = ^HAC (2)

Gọi giao của AH với EF là O xét tg AOF  có

AH=EF (hai đường chéo HCN = nhau) 

O là trung điểm của AH vào EF 

=> OA=OF => tg AOF cân tại O => ^HAC = ^AFE (3)

Từ (2) và (3) => ^AFE = ^ABC (4)

Mà ^ABC + ^ACB = 90 (5)

Từ (1) (4) (5) => ^MAC + ^AFE = 90

Xét tg AKF có ^AKF = 180 - (^MAC + ^AFE) = 180-90=90 => AM vuông góc EF tại K

I là hình chiếu của H trên AB => HI vuông góc vs AB => góc AIH = 90⁰
tương tự ta có: K là hình chiếu của H trên AC => HK vuông góc vs AC => góc AKH = 90⁰
Tứ giác AIHK  là hình chữ nhật vì có BAC=ADH=HKA=90⁰
=>IO=OA(cho O là giao điểm giữa 2 đường chéo AH và IK)
=>góc IAO=góc AIO(1)
Có AM là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền(M là trung điểm BC) của tam giác vuông ABC
 => tam giác ACM cân tại M => góc MAC = góc MCA  (2)
Mặt khác góc MCA= góc IAO vì cùng phụ vs AH.(3)
Từ (1),(2) và (3) => góc IAO= góc MAC= góc MCA
Tam giác AIK vuông tại A nên góc AKI+ góc AIK=90⁰  =>góc MAK + góc IKA =90⁰
Gọi giao điểm của AM vs IK là F thì từ tam giác AKF ta có  góc AFK =90⁰ hay AM vuông góc vs IK

tự vẽ hình nhé ^,^
 

Gọi O là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm của AM và IK. Ta có 

MAK = MCK, OKA = OAK nên

MAK + OKA = MCK + OAK = 90 độ

Do đó AM vuông góc IK

bạn ơi bạn làm như giải ý 

Gọi G là giao điểm của AH và IK, O là giao điểm của AM và IK.

Do AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC vuông tại A nên AM = MC.

\(\Rightarrow\Delta AMC\)cân tại M\(\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\)(1)

Dễ thấy AIHK là hình chữ nhật. Vì vậy GA = GK ( do G là giao điểm của hai đường chéo AH và IK)

\(\Rightarrow\Delta AGK\)cân tại G\(\Rightarrow\widehat{GAK}=\widehat{GKA}\)(2)

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được:

\(\widehat{MAC}+\widehat{GKA}=\widehat{MCA}+\widehat{GAK}=90^0\)(do tam giác AHC vuông tại H) 

 \(\Rightarrow\widehat{MAC}+\widehat{GKA}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta OAK\)vuông tại O hay \(AM\perp IK\)

Vậy \(AM\perp IK\)(đpcm)