\(4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=4x^2+1-8x+16x^2=20x^2-8x+1=20\left(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{20}\right)\)

\(=20\left[x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}+\frac{1}{100}\right]=20\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)

BĐT$\Leftrightarrow 20x^2+5y^2\geq (4x+y)^2=16x^2+8xy+y^2\Leftrightarrow 2(x-y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{5}$

4x + y = 1 => y = 1 - 4x
Nên : 4x^2 + y^2 = 4x^2 + (1 - 4x)^2
= 4x^2 + 1 - 8x + 16x^2
= 20x^2 - 8x + 1
= 4(5x^2 - 2x) + 1
= 4/5(25x^2 - 10x) + 1
= 4/5(25x^2 - 2.5x + 1) + 1/5
= 4/5(5x - 1)^2 + 1/5
>= 1/5
Dấu "=" xảy ra khi x = 1/5 => y = 1/5

học tốt

Ta có : 4x + y = 1 => y = 1 - 4x

=> 4x^2 + y^2 = 4x^2 + ( 1 - 4x )^2 = 20x^2 - 8x + 1 = 4 ( 5x^2 - 2x ) + 1 = 4/5 ( 25x^2 - 10x + 1 ) + 1/5 = 4/5 ( 5x-1 )^2 +1/5

Ta có : ( 5x-1)^2 >= 0 

=> 4/5 ( 5x-1)^2 +1/5 >= 0 + 1/5 = 1/5

Vậy 4x^2 + y^2 >= 1/5. Dấu "=" xảy ra <=> x= 1/5

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left[\left(2x\right)^2+y^2\right].\left(2^2+1\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow4x^2+y^2\ge\frac{1}{5}\)

Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{2x}{2}=y\Leftrightarrow x=y=0,2\)

\(x^4y+x^2y-x^2y=x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y.\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y}{\left(x^2+1\right)}=x^2y-\frac{x^2y}{\left(x^2+1\right)}\\\frac{y^2z\left(y^2+1\right)-y^2z}{\left(y^2+1\right)}=y^2z-\frac{y^2z}{\left(y^2+1\right)}\\\frac{z^2x\left(z^2+1\right)-z^2x}{\left(z^2+1\right)}=z^2x-\frac{z^2x}{\left(z^2+1\right)}\end{cases}}Vt\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{x^2y}{x^2+1}+\frac{y^2z}{y^2+1}+\frac{z^2x}{z^2+1}\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\z^2+1\ge2z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{x^2y}{x^2+1}\ge\frac{x^2y}{2x}=\frac{xy}{2}\\\frac{y^2z}{2y}=\frac{yz}{2}\\\frac{z^2x}{2z}=\frac{xz}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)}\)

\(x^2y+y^2z+z^2x\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3\)

\(VT\ge3-\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{2}\)

t chỉ làm dc đến đây thôi :))

Từ \(VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)\)ta có:

\(x^2y+x^2y+y^2z=x^2y+x^2y+\frac{y}{x}\ge3xy\)(áp dụng BĐT Cauchy)

Tương tự : \(y^2z+y^2z+z^2x\ge3yz\);   \(z^2x+z^2x+x^2y\ge3zx\)

Cộng vế theo vế suy ra : \(3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1

Do xyz=1. nên bđt cần chứng minh tường đương với

\(\frac{x^4}{x^3z+xz}+\frac{y^4}{y^3x+xy}+\frac{z^4}{z^3y+zy}\ge\frac{3}{2}\)

Theo BĐT Bunhiacopsky ta có:

\(\frac{x^4}{x^3z+xz}+\frac{y^4}{y^3x+xy}+\frac{z^4}{z^3y+zy}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3z+xz+y^3x+xy+z^3y+zy}\)

Do vậy ta cần cm

\(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3z+xz+y^3x+xy+z^3y+zy}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)+4\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge3\left(x^3z+y^3x+z^3y\right)+3\left(xy+yz+xz\right)\)

BĐT trên là tổng của 3 BĐT sau:

\(1,x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy+yz+xz\)

\(2,x^4+y^4+z^4\ge x^3z+y^3x+z^3y\)

\(3,x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge2\left(x^3z+y^3x+z^3y\right)\)

ta có bđt trên tương đương với

\(x^2\left(x-z\right)^2+y^2\left(y-x\right)^2+z^2\left(z-y\right)^2\ge0\)

Nhân 3 ở bđt đầu tiên rồi cộng vế theo vế các bđt ở dưới ta có đpcm

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Ta có : \(\frac{x}{4y^2+1}=x-\frac{4xy^2}{4y^2+1};\frac{y}{4x^2+1}=y-\frac{4x^2y}{4x^2+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

\(4y^2+1\ge4y;4x^2+1\ge4x\)

\(\Rightarrow x-\frac{4xy^2}{4y^2+1}+y-\frac{4x^2y}{4x^2+1}\ge x-\frac{4xy^2}{4y}+y-\frac{4x^2y}{4x}\)

\(=x+y-2xy=2xy\)

Đến đây ta áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(x+y=4xy\Leftrightarrow\frac{1}{xy}=\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\le4\Leftrightarrow2xy\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{4y^2+1}+\frac{y}{4x^2+1}\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\4y^2=1\\4x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

Bạn trên đã chứng minh \(xy\ge\frac{1}{4}\) rồi nên mình xin phép không trình bày

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:

\(LHS=\frac{x^2}{4xy^2+x}+\frac{y^2}{4x^2y+y}\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)}\)

Ta cần đi chứng minh:

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge x+y\Leftrightarrow x+y\ge1\)

Điều này là hiển nhiên vì theo AM - GM ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}=1\)

Vậy ta có đpcm

Bài 1:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(4+1\right)\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)

tôi không biết