\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+abc\right)\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c+1\right)\ge4\)(1)

Lại có:\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\left(c+1\right)^2\ge4c\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(c+1\right)\right]^2\ge16abc=16\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(c+1\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)

Lời giải:

BĐT cần CM tương đương với:

\(\left[\frac{(a+b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\right]^2\leq \frac{1}{4}\)

Đặt $a+b=x; ab=y$ thì BĐT \(\Leftrightarrow \left(\frac{x(1-y)}{y^2+x^2-2y+1}\right)^2=\left(\frac{x(y-1)}{x^2+(y-1)^2}\right)^2\leq \frac{1}{4}\)

Điều này luôn đúng vì theo BĐT AM-GM:

\([x^2+(y-1)^2]^2=x^4+(y-1)^4+2x^2(y-1)^2\geq 2x^2(y-1)^2+2x^2(y-1)^2=[2x(y-1)]^2\)

\(\Rightarrow \frac{[x(y-1)]^2}{[x^2+(y-1)^2]^2}\leq \frac{[x(y-1)]^2}{[2x(y-1)]^2}=\frac{1}{4}\)

Do \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

Nên BĐT tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=x\\ab+bc+ca=y\end{matrix}\right.\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ge y\end{matrix}\right.\)

BĐT tương đương:

\(\left(x+2y\right)\left(x-y\right)^2\le x^3\)

\(\Leftrightarrow x^3-3xy^2+2y^3\le x^3\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(3x-2y\right)\ge0\)

Hiển nhiên đúng do \(3x-2y=x+2\left(x-y\right)\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab+bc+ca=0\)

5) \(a^4+b^4+2\ge4ab\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge-\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge-2\left(ab-1\right)^2\)(đúng)

Vậy \(a^4+b^4+2\ge4ab\)

6) \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left(\frac{a+c}{2}+\frac{b+d}{2}\right)^2\ge4\cdot\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và các hệ quả liên quan ta được

\(a^4+1\ge2a^2\)và \(b^4+1\ge2b^2\)

\(\Rightarrow a^{^{ }4}+b^4+2\ge2\left(a^2+b^2\right)\)

Mặt khác \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\)Đpcm

câu con lại tương tự áp dung cauchy là sẽ ra bằng cách dung hệ quả\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

1)

a) 4x⁴+81=4x²+36x²+81-36x²

=(2x²+9)²-36x²

=(2x²+9-6x)(2x²+9+6x)

b)

(x²+x+1)(x²+x+2)-12

=(x²+x+1)(x²+x+1+1)-12

=(x²+x+1)²+(x²+x+1)-12

=(x²+x+1)²-3(x²+x+1)+4.(x²+x+1)-12

=(x²+x+1).(x²+x+1-3)+4.(x²+x+1-3)

=(x²+x+1)(x²+x-2)+4.(x²+x-2)

=(x²+x-2)(x²+x+1+4)

=(x²+x-2)(x²+x+5)

a) 4x^4 + 81 

= 4x^4 + 2.2x^2 .9 + 81 - 36x^2 

= ( 2x^2 + 9 )^2 - 36x^2

= (2x^2 - 6x + 9 )(2x^2 + 6x + 9 )

b) Đặt x^2 + x + 1 = a thay vào ta có 

a ( a+ 1 ) - 12 = a^2 + a - 12 

         = a^2 + 4a - 3a - 12 

        = a ( a+ 4 ) - 3 ( a+  4 )

         = ( a- 3 )( a+ 4 )

Thay a = x^2 + x + 1 ta có :

 ( x^2 + x + 1 - 3 )(x^2 + x + 1 + 4 ) = (x^2 +x - 2 )(x ^2 + x + 5 )

Còn phân tích đc tiếp phân tích hộ mình nha 

Vì vai trò của a,b,c là như nhau , nên có thể giả thiết \(a\ge b>c>0.\)

Có thể thấy rằng phải chứng minh : \(B\ge0,\)với

\(B=3abc+a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2a-a^2c-b^2c-c^2a-c^2b\)

\(=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)+c\left(2ab-a^2-b^2\right)+c\left(c^2-bc-ac+ab\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)-c\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)+\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)

Do giả thiết \(a\ge b\ge c,c>0\)

\(\RightarrowĐPCM\)