a: ΔOBC cân tại O có OI là trung tuyến

nên OI vuông góc BC

góc AMO=góc ANO=góc AIO=90 độ

=>A,M,O,I,N cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

mà OM=ON

nên OA là trung trực của MN

=>OA vuông góc MN tại H

=>AH*AO=AM^2

Xét ΔAMB và ΔACM có

góc AMB=góc ACM

góc MAB chung

=>ΔAMB đồng dạng với ΔACM

=>AM/AC=AB/AM

=>AM^2=AB*AC=AH*AO

Gọi I là giao điểm của MN và AC.

Ta có: \(\widehat{IHO}=\widehat{OEI}=90°\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác EIHO nội tiếp đường tròn.

\(\Rightarrow\)Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.(*)

Ta có ∆AIH \(\approx\)∆AOE 

\(\Rightarrow\)AH.AO = AE.AI (1)

Ta có: ∆AMB \(\approx\)AOM

\(\Rightarrow\)AM² = AH.AO (2)

Ta lại có: ∆ABM \(\approx\)∆AMC

\(\Rightarrow\)AM² = AB.AC (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AI = AB.AC

Vì A,B,C,E cố định nên I cố định (**)

Từ (*), (**) suy ta tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.

PS: không chứng minh được nó nằm trên đường tròn nha b. Hình tự vẽ.

bạn cho mình hỏi tại sao tam giác ABM đồng dạng với tam giác AMC vậy?. Mình ko hiểu chỗ đó

Ta có:

\(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\)(là góc chung)

\(\widehat{BMA}=\widehat{ACM}\) (Do AM là tiếp tuyến tại M của (O) và 2 góc đó cùng chắn cung MB)

\(\Rightarrow\Delta ABM\approx\Delta AMC\)

a, Chú ý:  A M O ^ = A I O ^ = A N O ^ = 90 0

b,  A M B ^ = M C B ^ = 1 2 s đ M B ⏜

=> DAMB ~ DACM (g.g)

=> Đpcm

c, AMIN nội tiếp => A M N ^ = A I N ^

BE//AM => A M N ^ = B E N ^

=>   B E N ^ = A I N ^ => Tứ giác BEIN nội tiếp =>  B I E ^ = B N M ^

Chứng minh được:  B I E ^ = B C M ^ => IE//CM

d, G là trọng tâm DMBC Þ G Î MI

Gọi K là trung điểm AO Þ MK = IK = 1 2 AO

Từ G kẻ GG'//IK (G' Î MK)

=>  G G ' I K = M G M I = M G ' M K = 2 3 I K = 1 3 A O  không đổi   (1)

MG' =  2 3 MK => G' cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc (G'; 1 3 AO)

a: ΔOBC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM\(\perp\)BC tại M

Xét tứ giác KAOM có

\(\widehat{OAK}+\widehat{OMK}=90^0+90^0=180^0\)

=>KAOM là tứ giác nội tiếp

=>K,A,O,M cùng thuộc một đường tròn

b: AH\(\perp\)BC

OM\(\perp\)BC

Do đó: AH//OM

Xét ΔNAH có

O là trung điểm của NA

OM//AH

Do đó: M là trung điểm của NH

Xét tứ giác BHCN có

M là trung điểm chung của BC và HN

=>BHCN là hình bình hành

c: Xét (O) có

ΔACN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔACN vuông tại C

=>CN\(\perp\)CA

BHCN là hình bình hành

=>BH//CN

Ta có: BH//CN

CN\(\perp\)CA

Do đó: BH\(\perp\)AC

Xét ΔABC có

BH,AH là các đường cao

BH cắt AH tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC