Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si ta có :

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c .

Áp dụng Bđt Cô si 3 số dương ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Đpcm

a³+b³+c³ - 3abc >= 0 

<=>(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) >= 0 

bn tự c/m ngoặc thứ 2 >= 0 (nhân 2 vào),có a+b+c >= 0 ->đpcm

Ta có: \(a\ge0,b\ge0,c\ge0\)

=>\(a+b+c\ge0\)

=>\(a+b\ge-c\)

=>\(\left(a+b\right)^3\ge\left(-c\right)^3\)

=>\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\ge-c^3\)

=>\(a^3+b^3+3.ab.\left(a+b\right)-\left(-c^3\right)\ge0\)

=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(a+b\right)\)

Vì a+b=-c

=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(-c\right)\)

=>\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

=>ĐPCM

Mình nhầm chỗ:

Vì \(a+b\ge-c\)

=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(a+b\right)\ge-3ab.\left(-c\right)\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

Với \(a=b=-1;c=1\) BĐT sai

Nếu các số không âm thì:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

BL:   a + b + c > 0  =>  a + b >= -c

Ta có:  a + b  .>=  -c

      => ( a + b )³ >= (-c)³

     => a³ + b³ + 3ab ( ab) >= (-c)³

    => a³ + b³ + 3ab ( -c) >= (-c)³

   => a³ + b³ + c³ >= 3abc    ( ĐPCM)

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) (Luôn đúng \(\forall a;b;c>0\) )

Vậy \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

CMR:a³+b³+c³\(\ge\)3abc với a,b,c>0

+)Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si của ba số nguyên dương ta có:

a³+b³+c³\(\ge\)\(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)

Mà \(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)=3abc

=>a³+b³+c³\(\ge\)3abc

Bất đẳng thức xảy ra khi a=b=c(ĐPCM)

Chúc bn học tốt

C1 : Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương \(a^3,b^3,c^3\) ta được :

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}=3abc\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

C2 : ta xét hiệu : \(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) (1)

Ta thấy \(\left(1\right)\ge0\) \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)+\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)(luôn đúng với a,b,c >0)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh, nếu bạn không hiểu chỗ nào thì nhắn tin nhắn riêng hỏi mk nhé, bài mk cam kết 100% đúng)

\(giải:\)

\(a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(\ge3abc\)

\(\Rightarrow a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(-3abc\ge0\)

\(\Rightarrow a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(-3abc+3a^2b+3ab^2-3a^2b-3ab^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-\left(3abc+3a^2b+3ab^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(c+a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\right]\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)(luôn đúng \(\forall\)a,b,c\(\ge0\))

hay \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2-3abc-3a^2b-3ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)\)\(-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\left(1\right)\end{cases}}\)

ta có: (1)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi a,b,c)

Vậy để bất đẳng thức đã cho xảy ra thì \(a+b+c\ge0\)