a) Vì \(OC\perp AB\Rightarrow\widehat{O}=90^o\)

Xét \(\left(O;\frac{AB}{2}\right)\):

\(\Delta ABM\)nt nửa đường tròn, có AB là đường kính

\(\Rightarrow\Delta ABM\)vuông tại M\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\)

Xét \(\Delta ANO\)và \(\Delta ABM\)có:

\(\widehat{BAM}\)chung

\(\widehat{AON}=\widehat{AMB}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta ANO\infty\Delta ABM\left(gg\right)\)\(\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{AO}{AM}\Rightarrow AN.AM=AO.AB=OA.2OA=2OA^2\)

Vì OA là bán kính của nửa đường tròn nên tích AN.AM ko đổi

b) Xét tg MNOB có \(\widehat{NMB}+\widehat{BON}=90^o+90^o=180^o\).Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

\(\Rightarrow Tg\)MNOB là tg nt

Vì \(CD\perp AM\Rightarrow\widehat{D}=90^o\)

Xét tg AODC có: \(\widehat{AOC}=\widehat{CDA}=90^o\).Mà O và D là 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh AC dưới 1gocs 90 độ

\(\Rightarrow\)AODC là tg nt

c)  \(\Delta COD\)cân tại D \(\Rightarrow\widehat{DCO}=\widehat{DOC}\)và CD =OD

Do AODC là tg nt \(\Rightarrow\widehat{DOC}=\widehat{DAO}\)(2 góc nt cùng chắn cung OD) và \(\widehat{DOC}=\widehat{DAC}\)(2 góc nt chắn cung CD)

Suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{DAO}\)

Mà \(\widehat{DAC}\)là góc nt chắn cung CM; \(\widehat{DAO}\)là góc nt chắn cung BM

\(\Rightarrow sđ\widebat{CM=sđ\widebat{BM}\Rightarrow}\)M là điểm chính giữa cung BC (vì M \(\in\)BC)

Vậy \(\Delta DOC\)cân tại D thì M là điểm chính giữa cung BC

a.

AB là đường kính nên \(\widehat{AMB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\)

\(\Rightarrow M\) và O cùng nhìn BP dưới 1 góc vuông nên tứ giác OBMP nội tiếp

Mà \(PO=PM\Rightarrow\widehat{PBO}=\widehat{PBM}\)

\(\Rightarrow\Delta_VPBO=\Delta_VPBM\left(ch-gn\right)\) (có cạnh huyền PB chung)

\(\Rightarrow BM=OB=R\)

Vậy M nằm ở vị trí sao cho \(BM=R\) thì \(PO=PM\)

Áp dụng Pitago: \(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow S_{ABM}=\dfrac{1}{2}AM.BM=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

b.

\(MB=MP\Rightarrow\Delta MBP\) vuông cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{BPM}=45^0\)

Theo câu a ta có OBMP nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BOM}=\widehat{BPM}=45^0\) (cùng chắn BM)

\(\Rightarrow\widehat{BOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC}\) \(\Rightarrow M\) là điểm chính giữa cung BC

Khi đó kẻ \(MH\perp AB\Rightarrow\Delta MOH\) vuông cân tại H (tam giác cân có góc đáy bằng 45 độ)

\(\Rightarrow MH=\dfrac{OM}{\sqrt{2}}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)

\(S_{AMB}=\dfrac{1}{2}MH.AB=R^2\sqrt{2}\)

c.

Qua P kẻ đường thẳng song song AB cắt BC tại D

\(\Rightarrow DP\perp CP\Rightarrow\Delta CPD\) nội tiếp đường tròn đường kính CD (1)

\(\widehat{MPD}=\widehat{MAB}\) (đồng vị), mà \(\widehat{MAB}=\widehat{MCB}\) (cùng chắn BM)

\(\Rightarrow\widehat{MPD}=\widehat{MCB}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác MCPD nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng chắn MD) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\) M,C,P cùng thuộc đường tròn đường kính CD

Hay tâm I của tam giác CPM nằm trên đường thẳng BC khi M di động trên cung BC

b: Xét ΔAON vuông tại O và ΔAMB vuông tại M co

góc OAN chung

=>ΔAON đồng dạngvới ΔAMB

=>AO/AM=AN/AB

=>AO*AB=AM*AN

a: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔMAB vuông tại M

Xét tứ giác MEOB có

góc EMB+góc EOB=180 độ

=>MEOB là tứ giác nội tiếp

b: Vì M là điểm chính giữa của cung BC

nên gó MOB=góc MOC=45 độ

góc MEB=góc MOB

góc MBE=góc MOE

mà góc MOE=góc MOB

nên góc MEB=góc MBE

=>ME=MB

=>ΔMEB cân tại M

Bạn tự vẽ hình nhé.

a) Ta có  góc N = góc B ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)

=> tam giác ANO đồng dạng với ABM

=> AN/AB =AO/AM => AM.AN = AB.AO =2R² = không đổi

b) MN= AM+AN \(\ge2\sqrt{AM.AN}=2\sqrt{2R^2}=2R\sqrt{2}\)

=> MN nhỏ nhất = 2R căn 2  khi AM =AN

giúp mình đi nhá!!! cần gấp á!!

chả ai quan tâm đâu :v toán chả ai giải :v

Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao (tính chất tam giác cân)

Suy ra: OC ⊥ AB