Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+p}\) được

\(G\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

\(G\ge1\Rightarrow MinG=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\x+y+z=2\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}\)

Anh xét hiệu P - 3/2 rồi làm như cách của em: Câu hỏi của Namek kian - Toán lớp 9 ạ ! Từ đó suy ra P >= 3/2. Hoặc có thể làm thẳng luôn như 4 bạn kia.

\(P=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1-3\)

\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}-3\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)-3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}-3=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z\)

:))

tth giai thich cho anh tai sao cai cuoi lai lon hon hoac bang 0 di

đây là cách lớp 9 nên cố hiểu nhá , ngoài ra có thể tham khảo ở sách nâng cao và phát triển toán 8 trang 43

áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương ta có 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

với a=y+z, b=z+x, c=x+y ta đc 

\(2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+x}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge1,5\)

vậy minA=1,5 khi y+z=x+z=x+y khi x=y=z

\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)

\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số 

\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)( 1 ) 

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có 

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\ge1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{2}\)

Từ ( 1 )

\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{zy+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của  \(P=\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)

\(M=\frac{2x+y+z-15}{x}+\frac{x+2y+z-15}{y}+\frac{x+y+2z-15}{z}\)

\(M-3=\frac{x+y+z-15}{x}+\frac{x+y+z-15}{y}+\frac{x+y+z-15}{z}\)

\(M-3=\left(x+y+z-15\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow M\ge\left(x+y+z-15\right)\cdot\frac{9}{x+y+z}+3=\frac{3}{4}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=4\)

nhận ra là bài này sai đề :)))

Bài này đúng đề mà

\(P=\frac{x}{2y+z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{z}{2x+y}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có

\(P=\frac{x^2}{2xy+zx}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{z^2}{2z+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Áp dụng bđt cosi ta có

\(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{9}{25}x\left(y^2+z\right)\ge\frac{6}{5}x^2\)

................................................................,,,,

=>\(VT\ge\frac{6}{5}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{9}{25}\left(xy^2+yz^2+zx^2+xy+yz+xz\right)\)

Ta có \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(x^3+xz^2\right)+\left(y^3+yx^2\right)+\left(z^3+zy^2\right)+x^2z+y^2x+z^2y\)

                                                                  \(\ge3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)

=> \(xy^2+yz^2+zx^2\le\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Lại có \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)

Khi đó

\(VT\ge\frac{6}{5}\left(x^2+...\right)-\frac{9}{25}\left(\frac{5}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\right)=\frac{3}{5}\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5}=\frac{4}{5}\)

Vậy MinA=4/5 khi x=y=z=2/3

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Ta có: \(P=\frac{4}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}+\frac{4^2}{z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Swarchz cho 3 số:

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(2+3+4\right)^2}{x+y+z}=\frac{81}{x+y+z}\)

Thay \(x+y+z=6\Rightarrow P\ge\frac{81}{6}=\frac{27}{2}\)

\(\Rightarrow Min_P=\frac{27}{2}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\).

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3};y=2;z=\frac{8}{3}\)

Nguyen Anh làm sao tìm được dâu "=" xảy ra thế bạn