Đặt        \(A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}^2+\frac{1}{3}^3+....+\frac{1}{3}^{100}\)

                 \(\frac{1}{3}A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}^2+\frac{1}{3}^3+.....+\frac{1}{3}^{101}\)

          \(\frac{1}{3}A-A=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}^2+\frac{1}{3}^3+....+\frac{1}{3}^{101}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}^2+\frac{1}{3}^3+....+\frac{1}{3}^{100}\right)\)

          \(\frac{1}{3}A-A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}^2+\frac{1}{3}^3+....+\frac{1}{3}^{101}-1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}^2-\frac{1}{3}^3-....-\frac{1}{3}^{100}\)

          \(\frac{\left(-2\right)}{3}A=\frac{1}{3}-1\)

          \(\frac{\left(-2\right)}{3}A=\frac{\left(-2\right)}{3}\Rightarrow A=1\)

Vậy ......

1) \(\left(x+1\right)^3-\left(x-4\right)\left(x+4\right)-x^3\)

\(=\left(x^3+3x^2+3x+1\right)-\left(x^2-16\right)-x^3\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-x^2+16-x^3\)

\(=2x^2+3x+17\)

2) \(\left(x+2\right)^3-x\left(x+3\right)\left(x-3\right)-12x^2-8\)

\(=\left(x^3+6x^2+12x+8\right)-x\left(x^2-9\right)-12x^2-8\)

\(=x^3+6x^2+12x+8-x^3+9x-12x^2-8\)

\(=-6x^2+21x\)

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`1.`

\((x + 1) ^ 3 - (x - 4)(x + 4) - x ^ 3\)

`= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - [ x(x+4) - 4(x+4)] - x^3`

`= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - (x^2 + 4x - 4x - 16) - x^3`

`= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - (x^2 - 16) - x^3`

`= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^2 + 16 - x^3`

`= (x^3 - x^3) + (3x^2 - x^2) + 3x + (1+16)`

`= 2x^2 + 3x + 17`

`2.`

\((x + 2) ^ 3 - x(x + 3)(x - 3) - 12x ^ 2 - 8\)

`= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - [ (x^2 + 3x)(x-3)] - 12x^2 - 8`

`= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - (x^3 - 9x) - 12x^2 - 8`

`= x^3 + 6x^2 + 12x +8 - x^3 + 9x - 12x^2 - 8`

`= (x^3 - x^3) + (6x^2 - 12x^2) + (12x + 9x) + (8-8)`

`= -6x^2 + 21x `

Nếu a+3 là dương

A=3a-3-2.(a+3)+9

A=3a-3-2a+6+9

A=a+12

Nếu a+3 là âm

A=3a-3-2.(-a-3)+9

A=3a-3-(-2).a-6+9

A=5.a+9-6-3

A=5.a

T..i..c..k nha

-2*trị tuyệt đối(a+3)+3*a+6

nếu Ia+3I là số dương thì Ia+3I=a+3 

=> A= 3a-3 - 2a+6 +9 

 A= 3a+2a -(-3+6+9)

= 5A - 12 

nếu Ia+3I là âm thì I a+3I = -a+3

=> A= 3a- 3 - -2a +6 +9

=> A= 3a-2a -( -3 +6+9)

 => A= a - 12 

( 1999 x 1998 + 1998 + 1997 ) + ( 1 + 1/2 / 11/2 - 11/3 )

= [ 1998( 1999 + 1 ) + 1997 ] + ( 3/2 / 11/6 )

= ( 1998 x 2000 + 1997 ) + ( 3/2 . 6/11 ) 

= 3997997 + 9/11

= 3997997,818

b) =(y^2-9)(y^2+9)-(y^4-4)

=y^4-81-y^4+4=-77

Bạn kiểm tra lại đề bài câu 1, câu này chỉ có thể rút gọn đến \(2cot^2x+2cotx+1\) nên biểu thức ko hợp lý

Đồng thời kiểm tra luôn đề câu 2, trong cả 2 căn thức đều xuất hiện \(6sin^2x\) rất không hợp lý, chắc chắn phải có 1 cái là \(6cos^2x\)

Câu 1 đề vẫn có vấn đề:

\(=\dfrac{1+cotx}{1-cotx}-\dfrac{2\left(1+cot^2x\right)cot^2x}{\left(tanx-1\right)\left(tan^2x+1\right)cot^2x}=\dfrac{1+cotx}{1-cotx}-\dfrac{2cot^2x}{tanx-1}\)

\(=\dfrac{1+cotx}{1-cotx}-\dfrac{2cot^3x}{1-cotx}=\dfrac{1+cotx-2cot^3x}{1-cotx}\)

\(=\dfrac{\left(1-cotx\right)\left(1+2cotx+2cot^2x\right)}{1-cotx}=1+2cotx+2cot^2x\)

Có thể coi như ko thể rút gọn tiếp

2.

\(\sqrt{\left(1-cos^2x\right)^2+6cos^2x+3cos^4x}+\sqrt{\left(1-sin^2x\right)^2+6sin^2x+3sin^4x}\)

\(=\sqrt{4cos^4x+4cos^2x+1}+\sqrt{4sin^4x+4sin^2x+1}\)

\(=\sqrt{\left(2cos^2x+1\right)^2}+\sqrt{\left(2sin^2x+1\right)^2}\)

\(=2\left(cos^2x+sin^2x\right)+2=4\)