cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) ,có 2 đường cao BE và CF.Hai tiếp tuyến của O tại B ,C cắt nhau tại K.Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại D

a) chứng minh BFEC nội tiếp 

b) chứng minh \(\Delta\)KBD \(\sim\)\(\Delta\)KAB và AB.CD=AC.BD

c) chứng minh AK đi qua trung điểm EF

\(\Delta ABC\)nội tiếp (O), (I) nội tiếp tiếp xúc BC, AC, AB tại D, E, F. Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\)cắt (O) tại P. Vẽ \(DK\perp EF\). Chứng minh P, K, I thẳng hàng

[Toán 9] Chứng minh

Khi hai tam giác đồng dạng thì tỉ số bán kính các đường tròn nội tiếp của chúng bằng tỉ số đồng dạng.

VD. Cho ΔABC vuông tại A. Đường cao AH. Biết (O;r) nội tiếp ΔABC. (O₁;r₁) nội tiếp ΔHBA. CM r/r₁=BC/AB

Cho (O) nội tiếp ΔABC cân tại A. Tiếp xúc các cạnh AB,BC,CA tại D,E,F; tia BF cắt điểm O tại I. CMinh
a) DF//BC và BDFC nội tiếp được đường tròn
b) IB^2=IP.ID
c) IB=IE
d) Diện tích ΔDBI = diện tích Δ DIE

Cho ΔABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại A cắt BC tại I.

a, Chứng minh ΔIAC đồng dạng ΔIBA

b, Chứng minh \(\frac{IB}{IC}=\frac{AB^2}{AC^2}\)

Cho ΔABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp và ΔABC∼ΔADE

b) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M, OM cắt BC tại H.

Chứng minh AB.BH=AD.BM

c) AM cắt DE tại I. Chứng minh góc AIE= góc AHC

Cho\(\Delta ABC\)vuông ở A có các cạnh a, b, c. Đường trong (O) nội tiếp tam \(\Delta ABC\)tiếp xúc BC, CA, AB ở M, N, P. Hỏi tứ giác ANOP là hình gì và chứng minh\(\Delta ABC=MB.MC\)

Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H .Tia AO cắt đường tròn ở M và cắt DE ở I. Chứng minh:

a) Tứ giác AEHD và BCDE là tứ giác nội tiếp

b) ΔADE và ΔABC đồng dạng

c) Tứ giác DIMC là tứ giác nội tiếp

d) AM⊥ED

cho \(\Delta ABC\)vuông tại A .Trên cạnh AC lấy điểm M ,vẽ đường (O) đường kính MC.Kẻ BM cắt (O) tại D. Đường thẳng DA cắt (O) tại S , BC cắt (O) tại N. CMR

a . ABNM nội tiếp

b . ABCD nội tiếp

c . \(\Delta ABD=\Delta ACD\)

d . \(CB.CN=CA.CM\)

Cho \(\Delta ABC\)nội tiếp đường tròn (O). G là trọng tâm \(\Delta ABC\).BG cắt tiếp tuyến tại C tại E, CG cắt tiếp tuyến tại B tại F. Chứng minh \(\widehat{EAB}=\widehat{FAC}\)