\(pt< =>\left(x-y\right)^2+xy=\left(x-y\right)\left(xy+2\right)+9\)

\(< =>\left(y-x\right)\left(xy+2+y-x\right)+xy+2+y-x-\left(y-x\right)=11\)

\(< =>\left(y-x+1\right)\left(xy+2+y-x\right)-\left(y-x+1\right)=10\)

\(< =>\left(x-y+1\right)\left(x-y-1-xy\right)=10\)

đến đây giải hơi bị khổ =))

+, Nếu x = 0 => ko tồn tại y thuộc Z

+, Nếu x khác 0 => x^2 >= 1 => x^2-1 >= 0

Có : y^3 = x^3+2x^2+3x+2 > x^3 ( vì 2x^2+3x+2 > 0 )

Lại có : y^3 = (x^3+3x^3+3x+1)-(x^2-1) = (x+1)^3 - (x^2-1) < = (x+1)^3

=> x^3 < y^3 < = (x+1)^3

=> y^3 = (x+1)^3

=> x^2-1 = 0

=> x=-1 hoặc x=1

+, Với x=-1 thì y = 0

+, Với x=1 thì y = 2

Vậy .............

Tk mk nha

Ta có: \(x^3+2x^2+3x+2=y^3\)                             (1)

Xét \(2x^2+3x+2=2\left(x^2+\frac{3}{2}x\right)+2=2\left(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}\right)+2-2.\frac{9}{16}\)

\(=2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\) Vì \(\left(x+\frac{3}{4}\right)^2\ge0\Rightarrow2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\ge\frac{7}{8}>0\)

\(\Rightarrow y^3>x^3\Rightarrow y^3\ge\left(x+1\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3+2x^2+3x+2\ge\left(x+1\right)^3\) \(\Rightarrow x^3+2x^2+3x+2\ge x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Rightarrow x^3+3x^2+3x+1-x^3-2x^2-3x-2\le0\)

\(\Rightarrow x^2-1\le0\Rightarrow x^2\le1\) Vì \(x\in Z\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=1\\x^2=0\end{cases}}\)

+ TH1: x² = 0 => x =0 Thay vào pt (1) ta được y³ = 2 (loại) vì y nguyên

+ TH2 : x² = 1 => \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

Thay x=1 vào pt (1) ta đc: 1+2+3+2 = 8 = y³ => y = 2

Thay x= -1 vào pt (1) ta đc: -1 + 2 -3 +2 = 0 =y³ => y = 0

Vậy cặp (x;y) là (1;2) ; (-1;0).

\(Xét \(2x^2+3x+2=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{16}>0\forall x\in R\) => \(x^3< y^3\left(1\right)\) (1) Giả sử : \(y^3< \left(x+2\right)^3\) \(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2< x^3+6x^2+12x+8\) \(\Leftrightarrow-4x^2-9x-6< 0\) \(\Leftrightarrow4x^2+9x+6>0\) \(\Leftrightarrow4\left(x+\dfrac{9}{8}\right)^2+\dfrac{15}{64}>0\) => Giả sử đúng . => \(y^3< \left(x+2\right)^3\left(2\right)\) Từ (1)(2) => \(y^3=\left(x+1\right)^3\) \(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^2+3x+1\) \(\Leftrightarrow x^2=1\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\) .) Khi \(x=1\Rightarrow y=2\). .) Khi \(x=-1\Rightarrow y=0\) Vậy nghiệm của pt ( x;y ) = {( 1;2 ) ; ( -1;0 )}\)

đặt 2 cái trong ngoặc kia là a và b, phân tích đa thức thành nhân tử ở VT

rồi chuyển sang cứ tạo thành hhằng đẳng thức rồi nhóm các nhân tử còn lại chia thành 2 nhóm và úc đó thay a,b theo x, y vào ,...

làm cho mk luôn đi bạn

x³ + y³ + 1 = 6xy

<=> (x + y)³ - 3xy(x + y) + 1 = 6xy

<=> (x + y)³ + 8 - 3xy(x + y + 2) = 7

<=> (x + y + 2)(x² - xy + y² + 2x + 2y + 4) = 7

Đến đây bạn tự giải tiếp

câu cuối là -2x-2y mà?

Không hiểu sao cái dòng đó lại nhảy như thế. Mình đánh lại.

Giả thiết tương đương với:

\((x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)=p\).

Do x + y + 1 > 1 và p là số nguyên tố nên x + y + 1 = p và \(x^2+y^2+1-x-y-xy=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)=3xy\le\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\Rightarrow x+y\le4\Rightarrow p\le5\).

Ta thấy 5 là số nguyên tố. Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2.

Vậy max p = 5 khi x = y = 2.