Cho \(\triangle\text{ABC}\) nhọn có đường phân giác trong AD. Chứng minh rằng :
\(\text{AD}=\frac{\text{2}\cdot\text{AB}\cdot\text{AC}\cdot\cos\frac{\text{A}}{2}}{\text{AB}+\text{AC}}\).
1. Tính:
a. \(\text{[}\sqrt{ab}+2\sqrt{\frac{b}{a}}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}\text{]}\cdot\sqrt{ab}\)
b.\(\text{[}-\frac{am}{b}\cdot\sqrt{\frac{n}{m}}-\frac{ab}{n}\cdot\sqrt{mn}+\frac{a^2}{b^2}\cdot\sqrt{\frac{m}{n}}\text{]}\cdot\text{[}a^2b^2\cdot\sqrt{\frac{n}{m}}\text{]}\)
a) \(\left(\sqrt{ab}+2\sqrt{\frac{b}{a}}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\right).\sqrt{ab}\) (ĐK : \(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}a< 0\\b< 0\end{cases}}\))
\(=ab+2b-a+1\)
b) \(\left(-\frac{am}{b}\sqrt{\frac{n}{m}}-\frac{ab}{n}.\sqrt{mn}+\frac{a^2}{b^2}.\sqrt{\frac{m}{n}}\right)\left(a^2b^2.\sqrt{\frac{n}{m}}\right)\) (ĐK bạn tự xét nhé ^^)
\(=\left(-\frac{a\sqrt{mn}}{b}-\frac{ab\sqrt{m}}{\sqrt{n}}+\frac{a^2}{b^2}.\sqrt{\frac{m}{n}}\right)\left(a^2b^2.\sqrt{\frac{n}{m}}\right)\)
\(=a^2b^2\left(\frac{-an}{b}-ab+\frac{a^2}{b^2}\right)=-a^3bn-a^3b^3+a^4=a^3\left(a-bn-b^3\right)\)
1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
a. \(\text{[}3+2\sqrt{6}-\sqrt{33}\text{]}\cdot\text{[}\sqrt{22}+\sqrt{6}+4\text{]}=24\)
b. \(\text{[}\frac{1}{5-2\sqrt{6}}+\frac{2}{5+2\sqrt{6}}\text{]}\cdot\text{[}15+2\sqrt{6}\text{]}\)
c.\(\text{[}\frac{4}{3}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3\frac{1}{3}}\text{]}\cdot\text{[}\sqrt{1,2}+\sqrt{2}-4\sqrt{\frac{1}{5}}\text{]}=4\)
d. \(\sqrt{\text{[}1-\sqrt{1989}\text{]}^2}\cdot\sqrt{1990+2\sqrt{1989}}=1988\)
e. \(\frac{a-\sqrt{ab}+b}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}-\frac{1}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-1}{a-b}\)với \(a>0;b>0\)và \(a\ne b\)
a) \(\left(3+1\sqrt{6}-\sqrt{33}\right)\left(\sqrt{22}+\sqrt{6}+4\right)\)
\(=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{11}\right).\sqrt{2}\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)\)
\(=\sqrt{6}\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}+\sqrt{11}\right)\)
\(=\sqrt{6}\left[\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)^2-11\right]=\sqrt{6}\left(11+4\sqrt{6}-11\right)=\sqrt{6}.4\sqrt{6}=6.4=24\)
b) \(\left(\frac{1}{5-2\sqrt{6}}+\frac{2}{5+2\sqrt{6}}\right)\left(15+2\sqrt{6}\right)=\left(\frac{5+2\sqrt{6}+10-4\sqrt{6}}{5^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2}\right)\left(15+2\sqrt{6}\right)\)
\(=\left(15-2\sqrt{6}\right)\left(15+2\sqrt{6}\right)=15^2-24=201\)
C) \(\left(\frac{4}{3}.\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3\frac{1}{3}}\right)\left(\sqrt{1,2}+\sqrt{2}-4\sqrt{\frac{1}{5}}\right)\)
\(=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{15}}\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}+4\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}-4\right)=\frac{1}{\sqrt{15}}\left[\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}\right)^2-16\right]\)
\(=\frac{1}{\sqrt{15}}\left(16+4\sqrt{15}-16\right)=\frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=4\)
d) \(\sqrt{\left(1-\sqrt{1989}\right)^2}.\sqrt{1990+2\sqrt{1989}}=\sqrt{\left(1-\sqrt{1989}\right)^2}.\sqrt{1989+2\sqrt{1989}+1}\)
\(=\sqrt{\left(1-\sqrt{1989}\right)^2}.\sqrt{\left(\sqrt{1989}+1\right)^2}=\left(\sqrt{1989}-1\right)\left(\sqrt{1989}+1\right)=1989-1=1988\)
e) \(\frac{a-\sqrt{ab}+b}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}-\frac{1}{a-b}=\frac{a-\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}-\frac{1}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{1}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-1}{a-b}\)
\(\text{Cho }P=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{6}\cdot\cdot\cdot\frac{399}{400}\text{ Chứng minh }P< \frac{1}{20}\)
\(P=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{4}{5}.\frac{5}{6}......\frac{399}{400}\)
\(P=\frac{1.3.4.5....399}{2.4.5.6.....400}\)
\(P=\frac{1.3}{2.400}\)
\(P=\frac{3}{800}\)
Vì \(\frac{3}{800}< \frac{40}{800}\)
\(\Rightarrow P< \frac{40}{800}\)
\(\Rightarrow P< \frac{1}{20}\left(đpcm\right)\)
Ta co:
\(P=\frac{1}{2}.\frac{3.4.5...399}{4.5.6...400}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{1}{2}.\frac{3}{400}=\frac{3}{800}< \frac{3}{600}=\frac{1}{20}\)
\(\Rightarrow P< \frac{1}{20}\left(dpcm\right).\)
\(P=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{4}{5}.\frac{5}{6}......\frac{399}{400}\)
\(P=\frac{1.3.4.5.....399}{2.4.5.6....400}\)
\(P=\frac{1.3}{2.400}\)
\(P=\frac{3}{800}\)
\(V\text{ì}\frac{3}{800}< \frac{40}{800}\)
\(\Rightarrow P< \frac{40}{800}\)
\(\Rightarrow P< \frac{1}{20}\left(\text{đ}pcm\right)\)
tính: \(\text{[}\sqrt{2}-1\text{]}^2-\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\text{[}-2\text{]}^2}+\frac{4\sqrt{2}}{5}+\sqrt{1\frac{11}{25}}\cdot\sqrt{2}\)
Chứng minh: \(\sqrt{x}\cdot\text{[}1-\sqrt{x}\text{]}\le\frac{1}{4}v\text{ới}x\ge0\)
TÍNH : \(\left(\sqrt{2}-1\right)^2-\frac{3}{2}\sqrt{\left(-2\right)^2}+\frac{4\sqrt{2}}{5}+\sqrt{1\frac{11}{25}}.\sqrt{2}\)
\(=\left(\sqrt{2}-1\right)^2-\frac{3}{2}.2+\frac{4\sqrt{2}}{5}+\sqrt{\frac{36}{25}}.\sqrt{2}\)
\(=3-2\sqrt{2}-3+\frac{4\sqrt{2}}{5}+\frac{6\sqrt{2}}{5}=\frac{10\sqrt{2}}{5}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\)
CHỨNG MINH :
Ta có : \(\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)=-x+\sqrt{x}=-\left[\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right]+\frac{1}{4}=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)với mọi \(x\ge0\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 1 : Cho \(\triangle ABC\) nhọn có đường phân giác trong AD. Chứng minh rằng :
\(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\dfrac{A}{2}}{AB+AC}\).
Bài 2 : Cho \(\triangle ABC\) cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh :
ɑ, DM = EN.
b, \(BC\cap MN=\left\{\text{trung điểm I của MN}\right\}\) .
c, Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
(\(\frac{\sqrt{\text{x}}}{\text{x}-4}+\frac{1}{\sqrt{\text{x}}-2}\text{)}\cdot\frac{\sqrt{\text{x}}-2}{2}\)
cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4. I thuộc đường phân giác trong AD của tam giác sao cho 7 AD = 10 AI, M là trung điểm của AC :
a) Tính BD qua DC và AI qua ID
b) Tính AD ,AI qua AB và AC
Bài 1: Giải phương trình: \(\sqrt{x^2\text{+}12}\text{+}5\text{=}3x\text{+}\sqrt{x^2\text{+}5}\)
Bài 2: Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm O' cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (O và O' nằm hác phía đối với đường thẳng AB, \(\widehat{OAO'}\)90) AB cắt OO' tại I, O'B cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là C, OB cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai là D, AC cắt OO' tại E, AD cắt OO' tại F
a) CM: OO' vuông góc với AB và I là trung điểm của AB
b) CM: AB là tia phân giác của \(\widehat{\text{C}AD}\)và AEBF là hình thoi
c) CM: \(\frac{OO'}{EF}\text{+}\frac{OB}{BD}\text{+}\frac{O'B}{B\text{C}}\text{=}1\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: SFAE=SABC.cos2A
b) Chứng minh nếu H là trung điểm của AD thì tanB.tanC=2
c) Ak là phân giá góc BAC và Góc A= 2@. Chứng minh: AK=\(\frac{2AB\cdot AC\cdot cosA}{AB+AC}\)