Ta sẽ dùng phản chứng 

Gọi 4 cạnh của tứ giác là a , b , c , d ( a,b,c,d \(\inℕ^∗\))

Giả sử không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c+d}{a}\\y=\frac{c+d+a}{b}\\z=\frac{d+a+b}{c}\end{cases}}\left(x;y;z\inℕ^∗\right)\)(Do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại)

Theo bất đẳng thức trong tứ giác  thì dễ thấy \(x;y;z>1\)

Mà x,y,z là số tự nhiên nên \(x;y;z\ge2\)

Không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a > b > c > d thì khi đó x < y < z

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y>x\end{cases}}\Rightarrow y\ge3\)

tương tự : \(z\ge4\)

Từ điều giả sử\(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}b+c+d\ge2a\\c+d+a\ge3b\\d+a+b\ge4c\end{cases}}\)

Cộng 3 vế vào ta được \(2a+2b+2c+3d\ge2a+3b+4c\)

                               \(\Rightarrow3d\ge b+2c\)(Vô lí do b > c > d)

Nên điều giả sử là sai 

Vậy luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh bằng nhau trong tứ giác đó

Giả sử tứ giác ABCD có AD = a, AB = b, BC = c, CD = d không có hai cạnh nào bằng nhau. Ta có thể giả sử a < b < c < d.

Ta có a + b + c > BD + c > d.

Do đó a + b + c + d > 2d hay S > 2d (*)

Ta có: S\(⋮\)a => S = m.a (m\(\in\)N)   (1)

S\(⋮\)b => S = n.b (n\(\in\)N)               (2)

S\(⋮\)c => S = p.d (p\(\in\)N)               (3)

S\(⋮\)d => S = q.d (q\(\in\)N)              (4)   . Từ (4) và (*) suy ra q.d > 2d => q > 2

Vì a < b < c < d (theo giả sử) nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra m > n > p > q > 2

Do đó q\(\ge\)3; p\(\ge\)4; n\(\ge\)5; m\(\ge\)6

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra 1/_m = a/_S; 1/n = b/_S; 1/p = c/_S; 1/q = d/_S

Ta có: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{a+b+c+d}{S}=1\)

hay \(\frac{19}{20}\ge1\)(vô lí)

Vậy tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau (đpcm)

Đặt AB = a; BC = b; CD = c; AD = d

C A B 2 = 2 π . a 2 2 = π . a 2 . Tương tự  C C D 2 = π . c 2

Vậy  C A B 2 + C C D 2 = π 2 a + c

Có  C B C 2 + C C D 2 = π 2 b + d

Tứ giác ABCD ngoại tiếp, kết hợp tính chất tiếp => a + c = b + d => ĐPCM

a) Gọi giao của AC và BD là O

sử dụng bất đẳng thức tam giác , ta có:

OA+OB>AB

OB+OC>BC

OC+OD>CD

OD+OA>AD

cộng các về lại ta được: 2(AC+BD)>chu vi tứ giác ABCD

==> cvi ABCD<28

theo nguyên lý đi rích lê có 28 chia cho 4 cạnh thì luôn có 1 cạnh nhỏ hơn 7

Kẻ B với D : xét tam giác ABD : áp dụng bất đẳng thức tam giác , ta có: AB < AD + BD (*)

Xét tam giác BDC : áp dụng bất đẳng thức tam giác , ta có BD< BC + CD (**)

thay (*) vào (**) => AB < AD + BC + CD

Vậy trong 1 tứ giác dộ dài 1 cạnh luôn bé hơn tổng 3 cạnh còn lại