a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

a,Xet tu giac ADHE co;

D la hinh chieu tren AB - HD  vuong goc AB- gocADH= 90 

E la hinh chieu tren AC - HE vuong goc AC- gocAEH=90

- Goc ADH= AEH =DAE =90

suy ra : Tg ADHE la hinh chu nhat

b, S=AB.AC = 1/2.6.10 =30 cm

a) xét tứ giác ADHE :

có góc ADH =góc HEA =DHE(90⁰)

=)ADHE là HCN (DHNB)

Gọi hình chiếu của B và C trên đường thẳng EF lần lượt là G và K

Ta có: AE và AF là 2 tiếp tuyến của (I) => AE=AF => \(\Delta\)EAF cân đỉnh A

=> ^AEF=^AFE => ^GEB=^KFC (2 góc đối đỉnh)

=> \(\Delta\)BGE ~ \(\Delta\)CKF (g.g) => \(\frac{BE}{CF}=\frac{GE}{KF}\)

Mà \(\frac{BE}{CF}=\frac{BD}{CD}\)(Vì BE=BD và CF=CD theo t/c tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{GE}{KF}\). Lại có: Tứ giác BGKC là hình thang có DH//BG//CK

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{GH}{KH}=\frac{GE}{KF}=\frac{GH-GE}{KH-KF}=\frac{EH}{FH}\)(T/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CF}=\frac{EH}{FH}\)

Xét \(\Delta\)BEH và \(\Delta\)CFH: ^BEH=^CFH (Bù 2 góc ^AEF và ^AFE bằng nhau); \(\frac{BE}{CF}=\frac{EH}{FH}\)

=> \(\Delta\)BEH ~ \(\Delta\)CFH (c.g.c) => ^BHE=^CHF => 90⁰ - ^BHE = 90⁰ - ^CHF

=> ^BHD=^CHD => HD là phân giác ^BHC (đpcm).

cảm ơn bạn nha,chắc cũng là trùm toán chứ nhỉ

Xét tam giác AEH và tâm giác AFH có:

AH chung

góc EAH = góc FAH (vì trong tam giác cân thì đường cao trùng với đường phân giác)

góc HEA = góc HFA = 90 độ (vì E và F là hình chiếu của H trên AB và AC)

Vậy tam giác AEH = tam giác AFH (g.c.g)

Vì BC có độ dài lớn nhất nên đề bài tương đương với: \(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}=\sqrt[3]{BC^2}\)(Định lí Pythagoras đảo)

Lập phương 2 vế: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)

Ôn lại các hệ thức lượng cho tam giác vuông vì sắp tới mình sẽ dùng 1 chuỗi hệ thức đấy:

+Tam giác AHD vuông tại H, đường cao DH: \(AH^2=AD.AB,BH^2=BD.BA\)

+Tam giác AHC vuông tại H, đường cao EH: \(AH^2=AC.AE,CH^2=CA.CE\)

+Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH: \(AH^2=HB.HC,AH.BC=AB.AC,BC^2=AB^2+AC^2\)

$ ADHE là hình chữ nhật nên AD=HE

$ Tam giác AHE vuông tại H nên \(AH^2=AE^2+HE^2\)

Ok, giờ triển thoi: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(AB-AD\right)^2+\left(AC-AE\right)^2+3\sqrt[3]{\left(BD.CE\right)^2}.\sqrt[3]{BC^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(AB^2+AC^2\right)+\left(AD^2+AE^2\right)-2\left(AB.AD+AC.AE\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2+\left(AE^2+HE^2\right)-2\left(AH^2+AH^2\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2-4AH^2-3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=3AH^2\)

\(\Leftrightarrow BD.CE.BC=AH^3\)

\(\Leftrightarrow BD.CE.BC.AH=AH^4\)

\(\Leftrightarrow\left(BD.BA\right)\left(CE.CA\right)=AH^4\)

\(\Leftrightarrow BH^2.CH^2=AH^4\Leftrightarrow BH.CH=AH^2\)---> Luôn đúng

Vậy giả thiết đúng.

(Bài dài giải mệt vler !!)

Bạn tự vẽ hình nha :

a, Tứ giác AMHN có : \(\widehat{A}=\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMHN là hình chữ nhật

b, \(\Delta ABC:\)    \(\widehat{A}=90^o\)

\(\Rightarrow\) \(BC^2=AB^2+AC^2\)  ( Định lý Py - ta - go )

hay  \(BC^2=8^2+15^2=289\)

\(\Rightarrow\) BC = 17 ( cm )

Xét  \(\Delta AHB\) và  \(\Delta CAB\) có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o\)

\(\widehat{B}:chung\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta AHB\) đồng dạng  \(\Delta CAB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}\)          \(\Rightarrow\) \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{8.15}{17}=\frac{120}{17}\left(cm\right)\)

Mà AMHN là hình chữ nhật

=> \(MN=AH=\frac{120}{17}\left(cm\right)\)

c, Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có :

\(\widehat{A}:chung\)

\(\widehat{AMH}=\widehat{AHB}=90^o\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta AMH\) đồng dạng \(\Delta AHB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}\)       \(\Rightarrow\) \(AM.AB=AH^2\) ( 1 )

Tương tự :  \(\Delta ANH\) đồng dạng \(\Delta AHC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}\)    \(\Rightarrow\) \(AN.AC=AH^2\)    ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )      => đpcm