Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=120^0\) và \(sinB=\dfrac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2b}\). Tính \(\cot B+\cot C\)
Cho tam giác ABC có ba góc với : \(cot\left(\widehat{\dfrac{A}{2}}\right);cot\dfrac{\widehat{B}}{2};cot\left(\widehat{\dfrac{C}{2}}\right)\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chứng minh ba cạnh tương ứng theo thứ tự đó cũng tạo thành một cấp số cộng
gọi a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
Ta có :\(cot\left(\dfrac{A}{2}\right)+cot\left(\dfrac{C}{2}\right)=2cot\left(\dfrac{B}{2}\right)\) <=> \(\dfrac{cot\left(\dfrac{A}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)}+\dfrac{cos\left(\dfrac{C}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=\dfrac{2.cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\)
<=> \(\dfrac{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)cos\left(\dfrac{A}{2}\right)+cos\left(\dfrac{C}{2}\right)sin\left(\dfrac{A}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right).sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}\)
<=> \(\dfrac{sin\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\) <=> \(\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\)
<=> \(sin\left(\dfrac{B}{2}\right).cos\left(\dfrac{B}{2}\right)=2sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=> \(\dfrac{1}{2}sinB=\left[cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)-cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)\right]cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=>\(\dfrac{1}{2}sinB=cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right).cos\left(\dfrac{B}{2}\right)-sin\left(\dfrac{B}{2}\right)cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=> \(\dfrac{1}{2}sinB=cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)sin\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)-\dfrac{1}{2}sinB\)
<=> sinB = \(\dfrac{1}{2}\left(sinA+sinC\right)\) <=> \(2sinB=sinA+sinC\)
<=> \(2.\dfrac{b}{2R}=\dfrac{a}{2R}+\dfrac{c}{2R}\)
<=> a+c =2b
=> 3 cạnh của tam giác tạo thành cấp số cộng.
Bạn nào giúp mình vs nhá:===thanks mọi người nhiều lắm^^
1/ cho tam giác ABC. cmr:
\(\dfrac{1}{sinA}+\dfrac{1}{sinB}+\dfrac{1}{sinC}=\dfrac{1}{2}.\left(tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{C}{2}+cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}.cot\dfrac{C}{2}\right)\)
2,cmr:
\(\left(a-b\right)tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}+\left(b-c\right)tan\dfrac{B}{2}.tan\dfrac{C}{2}+\left(c-a\right)tan\dfrac{C}{2}.tan\dfrac{A}{2}=0\)
Cho tam giác nhọn ABC . chứng minh rằng:
a/ \(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2\)
b/\(\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{3}{2}\)
c/\(\cot A+\cot B+\cot C\ge\sqrt{3}\)
Cho tam giác vuông ABC tại A có tan C = \(\sqrt{3}\). Kết quả nào sau đây là đúng
a. cot B = \(\sqrt{3}\)
b. cot B = 0,8
c. cot C = 1
d. cos B = \(\sqrt{3}\)
Cho tam giác ABC có 2 cot A + 2 cot C = cot B. CMR: sin B ≥ 3/5
Ta có:
\(cotA=\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\dfrac{2S}{bc}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}\)
Tương tự...
Thay vào đề bài:
\(2\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\right)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)
\(\Rightarrow4b^2=a^2+c^2-b^2\Rightarrow5b^2=a^2+c^2\)
\(\Rightarrow cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{a^2+c^2-\dfrac{a^2+c^2}{5}}{2ac}=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)}{5ac}\ge\dfrac{4ac}{5ac}=\dfrac{4}{5}\)
\(\Rightarrow sinB=\sqrt{1-cos^2B}\le\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}=\dfrac{3}{5}\)
Em kiểm tra lại đề, BĐT đề bài bị ngược dấu
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm . Đặt \(\widehat{GBC}=\alpha\), \(\widehat{GBC}=\beta\), \(\widehat{GCA}=\gamma\). Chứng minh rằng \(\cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4S}\)
Cho tam giác $A B C$, chứng minh rằng:
a) $\cot A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4 S}$.
b) $\cot A+\cot B+\cot C \geq \sqrt{3}$.
`Answer:`
a) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
\(2S=bc.\sin A\)
\(\Rightarrow2bc=\frac{4S}{\sin A}\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-\frac{4S\cos A}{\sin A}=b^2+c^2-4S\cot A\)
\(\Rightarrow\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ,kẻ đường cao AH.
a) C/m sin A + cos A >1
b)C/m : AH=\(\frac{BC}{\cot B+\cot C}\)
c)Biết BC=12cm, \(\widehat{B}\)=60độ ,\(\widehat{C}\)=45độ .Tính diện tích tam giác ABC
1. Cho sin anpha =0,4.Tính cos anpha,tan anpha,cot anpha
2.Cho tam giác ABC vuông tại A. Cho sinB = 1/2. Tính các tỉ số lượng giác còn lại
\(\sin\alpha=\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{21}{25}}=\)\(\frac{\sqrt{21}}{5}\)
\(\Rightarrow\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2}{5}:\frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{2}{\sqrt{21}}\)và \(\cot\alpha=\frac{\sqrt{21}}{2}\)
2. Tương tự a)
\(\cos B=\sqrt{1-\sin^2B}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan B,\cot B\)bạn tự tính nốt.
\(sin\alpha=0,4\Rightarrow sin^2\alpha=0,16\Rightarrow cos^2\alpha=1-sin^2\alpha=1-0,16=0,84\Rightarrow cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}{5}\)
\(tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{0,4}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\)
\(cot\alpha=1:sin\alpha=1:\frac{2\sqrt{21}}{21}=\frac{21}{2\sqrt{21}}\)