Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên góc (ACB) = 90 °

Tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

C H 2 = HA.HB     (3)

Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có:

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Suy ra : ∆ ACH =  ∆ ACE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AH = AE     (4)

Xét hai tam giác BCH và BCF, ta có:

CH = CF (= CE)

BC chung

Suy ra:  ∆ BCH =  ∆ BCF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = BF     (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:  C H 2  = AE.BF

Ta có: OC ⊥ d (tính chất tiếp tuyến)

AE ⊥ d (gt)

BF ⊥ d (gt)

Suy ra : OC // AE // BF

Mà OA = OB (= R)

Suy ra: CE = CF (tính chất đường thẳng song song cách đều)

Ta có: AE // OC

Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE

a) VÌ: \(OC\perp EF\left(gt\right)\)

\(AE\perp EF\left(gt\right)\)

=> OC//AE

=> \(\widehat{EAC}=\widehat{OCA}\) ( cặp góc sole trong) (1)
Vì: OC=OA(gt)

=> ΔOAC cân tại O

=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\) (2)

Từ (1);(2) suy ra:

\(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)

=>AC là tia pg của \(\widehat{BAE}\)

b)Chứng minh tương tự như câu a ta có: \(\widehat{OBC}=\widehat{FBC}\)

Xét ΔAEC và ΔAHC có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)

AC:cạnh chung

\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\left(cmt\right)\)

=>ΔAEC=ΔAHC ( cạnh huyền -góc nhọn)

=>AE=AH

Xét ΔCHB và ΔCFB có:

\(\widehat{CHB}=\widehat{CFB}=90^o\)

BC:cạnh chung

\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\left(cmt\right)\)

=> ΔCHB=ΔCFB(ch-gn)

=> BF=HB

Xét ΔABC có: OA=OB=OC

=> ΔABC cân tại C

=> \(CH^2=AH\cdot BH\)

Hay: \(CH^2=AE\cdot BF\)

Gọi tâm đường tròn đường kính AB là O

a) Xét (O) có AB là đường kính

nên O là trung điểm của AB

Ta có: OC⊥EF(EF là tiếp tuyến tại C của (O))

BF⊥FE(gt)

AE⊥FE(gt)

Do đó: AE//OC//BF(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác AEFB có AE//BF(cmt)

nên AEFB là hình thang có hai đáy là AE và BF(Định nghĩa hình thang)

Hình thang AEFB(AE//FB) có 

O là trung điểm của AB(cmt)

OC//AE//BF(cmt)

Do đó: C là trung điểm của EF(Định lí 3 đường trung bình của hình thang)

hay CE=CF(đpcm)

b) Vì OC//AE(cmt)

nên \(\widehat{EAC}=\widehat{OCA}\)(hai góc so le trong)(1)

Xét ΔOAC có OA=OC(=R)

nên ΔOAC cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)(Hai góc ở đáy)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)

hay \(\widehat{EAC}=\widehat{BAC}\)

mà tia AC nằm giữa hai tia AE,AB

nên AC là tia phân giác của \(\widehat{EAB}\)(đpcm)

s

Dễ mà!

Câu a): \(\widehat{ECA}=\widehat{CBH}=\widehat{ACH}\) nên \(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\).

Câu b): Từ câu a) CM được tam giác \(ECA\) và \(HCA\) là bằng nhau, tức là \(EA=HA\)

Tương tự, \(FB=HB\) nên \(BF.AE=AH.BH=CH^2\)

a ) Vì \(OC\perp EF\left(gt\right)\)

\(AE\perp EF\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow OC//AE\)

\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{OCA}\) ( cặp góc so le trong ) (1)
Vì : OC = OA ( gt)

\(\Rightarrow\Delta OAC\) cận tại O

\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra :
\(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow\) AC là tia phân giác của \(\widehat{BAE}\)

b ) Chứng minh tương tự như câu a ta có :

\(\widehat{OBC}=\widehat{FBC}\)

Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta AHC\) có :

\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)

AC : cạnh chung 

\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AEC=\Delta AHC\) ( cạnh huyền - góc nhọn )
\(\Rightarrow AE=AH\)

Xét \(\Delta CHB\) và \(\Delta CFB\) có :

\(\widehat{CHB}=\widehat{CFB}=90^o\)

BC : cạnh chung 

\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta CHB=\Delta CFB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow BF=HB\)

Xét : tam giác ABC có : OA = OB =OC 

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại C

\(\Rightarrow CH^2=AH.BH\)

Hay \(CH^2=AE.BF\)

Chúc bạn học tốt !!!

a: Xét tứ giác ABNM có

AM//BN

góc AMN=90 độ

Do đó: ABNM là hình thang vuông

b: AM//CO

=>gó MAC=góc OCA=góc OAC

=>AC là phân giác của góc BAM