a) (Nếu cj biết vẽ hình rồi thì thôi nha chị, còn nếu chị chưa vẽ được hình thì chị có thể nhắn tin với em ạ )

Ta có : tam giác ABE và tam giác ADC có : 

AB = AD

AC=AE

góc DAC  = góc BAE  ( cũng = góc BAC t60 độ ) 

=> tam giác ABE  = tam giác ADC ( c . g . c ) 

=> góc AEB  = góc ACD ( 2 góc tương ứng) ; BE = CD

Gọi F là tia đối tia BI sao cho DI=IF

=> tam giác DIF đều do góc DIB = 60 độ

Xét tam giác DBF  và tam giác DAI có : 

DF = DI , DB = DA  , góc FDB = góc IDA = 60 độ - góc BDI 

Vậy ta có : ID = IF = IB + FB = IB + IA ( đpcm )

b) Ta có : AM² = \(\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM ta có : 

AM² =BA² + BM² -2.BA . BM .cos B

       = AB² + BM² -2.AB . BM . \(\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}\)

        = AB² + \(\frac{BC^2}{4}-2.BM.\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.2.BM}\)

       = \(\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}\)

<=> AB² + AC² =2.AM² + \(\frac{BC^2}{2}\)

-Kẻ BH vuông góc với AM; CK vuông góc với AM(H,K thuộc AM). => BHCK là hình bình hành 
=> BH= CK; M là trung điểm của BC nên cũng là trung điểm của HK.
-Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H; tam giác BHM vuông tại H; tam giác AKC vuông tại K, ta có: AH^2+ BH^2=AB^2.
BH^2+HM^2=BM^2.
AK^2+KC^2=AC^2.
-Từ các điều ở trên ta có : BH^2+HM^2= (BC/2)^2.
=> 4.BH^2+4.HM^2 =BC^2.
=> 2.BH^2= (BC^2)/2 -2.HM^2.
=> 2.BH^2+4.HM^2= 2.HM^2+ (BC^2)/2.
=> 2.BH^2+2.AH^2 +4.HM^2+ 4.AH.HM= 2.AH^2+ 2.HM^2+ 4.AH.HM+ (BC/2)^2.
=> BH^2+CK^2+ AH^2+( AH^2+4.HM^2+ 4.AH.HM) =2.(AH^2+ HM^2+2.AH.HM) +(BC/2)^2.
=> BH^2+ AH^2+ CK^2+(AH^2+ HK^2+ 2.AH.HK) = 2.AM^2+ (BC/2)^2.
=> AB^2+ (CK^2+ AK^2)= 2.AM^2 + (BC/2)^2.
=> AB^2+AC^2= 2.AM^2 + (BC/2)^2 (đpcm). 

Tham khảo nha bn

KẺ BH VUÔNG GÓC VỚI AM ; CK VUÔNG GÓC VỚI AM ( H.K THUỘC AM ) = > BHCK LÀ HINHFD BÌNH HÀNH = > BH = CK ; M ; LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC NÊN CŨNG LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA HK . - ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ PYTAGO VÀO TAM GIÁC AHB VUÔNG TẠI H ; TAM GIÁC BHM VUÔNG TẠI H ; TAM GIÁC AKC VUÔNG TẠI K

Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(BM=CM\left(gt\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(MA=MD\) (cách vẽ)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DCM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AB=CD\)(2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACD\) có: \(AD< AC+CD\)

\(\Rightarrow2AM< AC+AB\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta MAB\)có: \(AM>AB-BM\)

Xét \(\Delta MAC\)có: \(AM>AC-MC\)

\(\Rightarrow AM+AM>AB-BM+AC-MC\)

\(\Rightarrow2AM>AB+AC-\left(BM+CM\right)\)

\(\Rightarrow2AM>AB+AC-BC\)

\(\Rightarrow AM>\frac{AB+AC-BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC}{2}\left(đpcm\right)\)