Cho tam giác ABC đều, điểm M nằm trong tam giác. Gọi K, I, H thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB.
CMR \(S_{AMH}+S_{BMK}+S_{CMI}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(S_{AEMF}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}\)
Cái bài này thì có lẽ bạn nên chứng minh AM⊥FE là nó ra liền à
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AF\) và \(AE=HF\)
\(S_{ABC}=S_{ABH}+S_{ACH}=\dfrac{1}{2}HE.AB+\dfrac{1}{2}HF.AC=\dfrac{1}{2}AB.AF+\dfrac{1}{2}AC.AE\)
Gọi K là trung điểm AB \(\Rightarrow MK\) là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MK=\dfrac{1}{2}AC\\MK\perp AB\end{matrix}\right.\)
Gọi D là trung điểm AC \(\Rightarrow MD\) là đtb tam giác ABC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MD=\dfrac{1}{2}AB\\MD\perp AC\end{matrix}\right.\)
\(S_{AEMF}=S_{ABC}-\left(S_{BME}+S_{CMF}\right)=S_{ABC}-\left(\dfrac{1}{2}MK.BE+\dfrac{1}{2}MD.CF\right)\)
\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}AC.\left(AB-AE\right)+\dfrac{1}{2}AB.\left(AC-AF\right)\right)\)
\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(AB.AC-\left(\dfrac{1}{2}AC.AE+\dfrac{1}{2}AB.AF\right)\right)\)
\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(2S_{ABC}-S_{ABC}\right)=\dfrac{1}{2}S_{ABC}\) (đpcm)
Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Qua M kẻ đường thẳng DE, IJ, FG tương ứng song song với các cạnh BC, CA, AB (G, I thuộc BC; E, F thuộc CA; D, I thuộc AB). Chứng minh: \(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\le\dfrac{2}{3}S_{ABC}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh:\(S_{AEHF}\le\dfrac{1}{2}S_{ABC}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh: \(S_{AEHF}\le\dfrac{1}{2}S_{ABC}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Trên AB, CD lần lượt lấy M, N, P, Q sao cho AM= MN= NB, CP= PQ= QD. Chứng minh rằng \(S_{MNPQ}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.\)
Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên một nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng các hình bình hành BCEF, ACKL, ABMN sao cho E, F lần lượt nằm trên KL, MN. Chứng minh rằng \(S_{BCEF}=S_{ACKL}+S_{ABMN}.\)
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. P là điểm bất kì nằm trong tứ giác ABCD sao cho \(S_{APB}+S_{CPD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.\)Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng.
Giúp mình với! Mình cần gấp.
Bai 1
Bo de : \(\Delta ABC\) trung tuyen AD
\(\Rightarrow S_{ADB}=S_{ADC}\)
cai nay ban tu chung minh nha
Ap dung bo de va bai nay => \(S_{MNPQ}=S_{MQP}+S_{MNP}=\frac{1}{3}S_{MDC}+\frac{1}{3}S_{ABP}\)
ta phai chung minh \(S_{MDC}+S_{ABP}=S_{ABCD}\)
That vay co \(S_{AMP}=S_{AMD},S_{MBP}=S_{MBC}\)
=> \(S_{ABP}+S_{MDC}=S_{ADM}+S_{MDC}+S_{MBC}=S_{ABCD}\)
=> dpcm
Hình như sai ở dòng thứ 2 từ dưới lên trên ấy
dung toi do ban chac ban ve hinh khac mik nen chac nhin khong giong thoi chu mik kiem tra lai roi do
Kí hiệu \({S_{ABC}}\) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.
a) Chúng minh \({S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\)
Gợi ý: Sử dụng \(GM = \dfrac{1}{3}AM\) để chứng minh \({S_{GMB}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}},{S_{GCM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\).
b) Chứng minh \({S_{GCA}} = {S_{GAB}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\).
a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \dfrac{1}{3}AM\)
Kẻ \(BP \bot AM\) ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GMP}} = \dfrac{1}{2}BP.GM\\{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}BP.AM\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMP}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMP}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}}\)(1)
Tương tự, kẻ \(CN \bot AM\), ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GMC}} = \dfrac{1}{2}CN.GM\\{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}CN.AM\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMC}}}}{{{S_{ACM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\left( 2 \right)\end{array}\)
Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{GMB}} + {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}\left( {{S_{AMC}} + {S_{ABM}}} \right)\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\end{array}\)
b)
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}BP.AG\\{S_{GAC}} = \dfrac{1}{2}CN.AG\end{array}\)
Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta CNM\) có:
\(\widehat {BPM} = \widehat {CNM} = {90^0}\)
BM = CM ( M là trung điểm của BC)
\(\widehat {PMB} = \widehat {CMN}\)(2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta BPM = \Delta CNM\)(cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow \) BP = CN (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow {S_{GAB}} = {S_{GAC}}\)
Ta có: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)
\(\begin{array}{l}{S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + {S_{GCB}}\\ \Rightarrow {S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = {S_{GAC}} = {S_{GAB}}\end{array}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm K bất kỳ trên cạnh AC \(\left(K\ne A;K\ne C\right)\). Gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng minh \(S_{BHD}=\dfrac{1}{4}S_{BKC}.cos^2\widehat{ABD}\)
Đề bài của em bị sai
Hai tam giác BHD và BKC đồng dạng do chung góc \(\widehat{KBC}\) và \(\widehat{BDH}=\widehat{BCK}\) (cùng bằng \(\widehat{BAH}\))
Do đó tỉ số đồng dạng 2 tam giác là \(k=\dfrac{BD}{BC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{BDH}}{S_{BKC}}=k^2=\dfrac{BD^2}{BC^2}\)
Nếu đề bài đúng thì đồng nghĩa ta phải chứng minh:
\(\dfrac{BD^2}{BC^2}=\dfrac{cos^2\widehat{ABD}}{4}=\dfrac{\left(\dfrac{BD}{AB}\right)^2}{4}=\dfrac{BD^2}{4AB^2}\)
\(\Rightarrow BC^2=4AB^2\) nhưng điều này rõ ràng ko đúng (vì đề bài ko hề cho BC=2AB)
Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC), đường cao AH.
a) Trên cạnh AC lấy điểm K(K ≠A, K≠C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng minh rằng BD \(\times\) BK=BH\(\times\)BC
b)Biết BC= 4\(\times\)BH . Chứng minh rằng:\(s_{BHD}\)=\(\dfrac{1}{4}\)\(S_{BKC}\)\(\cos^2ABD\)