Cho a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh
\(\frac{ab}{3ab+2b+c}+\frac{bc}{3bc+2c+a}+\frac{ab}{3ab+2a+b}\le\frac{1}{4}\)
cho số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.CMR: (ab/2a+b+3ab)+(bc/2b+c+3bc)+(ca/2c+a+3ca)</=(1/2)
Cho a,b,c > 0.CMR:
\(\frac{ab}{a^2+3b^2+4ab+5bc+3ac}+\frac{bc}{2a^2+b^2+3c^2+3ab+4bc+5ac}+\frac{ac}{3a^2+2b^2+c^2+5ab+3bc+4ac}\le\frac{1}{6}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 13a+5b+12c-9=0
Chứng minh rằng
\(\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\le1\)1
Chứng minh rằng nếu a , b , c > 0 thỏa mãn abc = ab + bc + ca thì \(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}<\frac{3}{16}\left(\le\frac{3}{32}\right)\)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm \(a,b,c\) thỏa mãn không có hai số nào trong chúng có thể đồng thời bằng \(0\), bất đẳng thức sau luôn được thỏa mãn:
\(\frac{a}{a^2+3bc}+\frac{b}{b^2+3ca}+\frac{c}{c^2+3ab}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{4\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
có 1 cách mà xài SOS xấu lắm chơi ko :))
tìm thấy rồi Tổng hợp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức-Tập 2: Luyện thi học sinh giỏi toán - Tổng hợp - Google Sách
đây nhé có phải là
\(a-\frac{a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a^3+3abc-a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{a^2+3bc}+\frac{3abc}{a^2+3bc}\)
Đến khi cộng vào thì phải là \(3abc\left(\frac{1}{a^2+3bc}+\frac{1}{b^2+3ac}+\frac{1}{c^2+3ab}\right)\ge\frac{3abc.9}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)
1/Cho a,b,c≥0 và \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Tìm GTLN của
M=\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ba}\)
2/Cho a,b,c>0 thỏa mãn 13a+5b+12c=9. Tìm GTLN của
N=\(\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\)
3/Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của
P=\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\)
4/Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ab+7bc+ca=188.
Tìm GTNN của P=\(5a^2+11b^2+5c^2\)
Ai giải được câu nào giải hộ mình vs ạ!!!
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn
Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.
Chứng minh: \(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh \(\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
Với x,y>0 ta cm: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
=>\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
ÁP dụng vào bài toán ta có:
\(\frac{1}{a+b+2c}=\frac{1}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{4ab}{a+b+2c}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\)
tương tự: \(\frac{4bc}{b+c+2a}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c};\frac{4ca}{c+a+2b}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b}\)
Cộng 3 bđt trên vế theo vế ta dc \(4\left(\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\right)\le\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+bc}{a+c}=c+a+b\)
=>đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a.b.c=1. Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\ge\frac{3}{2}\)
\(VT=\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{a+b}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)