Gọi d = ƯCLN ( a;a - b)                  ( d \(\in\) N *)

=> a :  d    ;   a - b : d 

=>  b : d 

=> d \(\in\) ƯC( a;b)

Vì (a;b) = 1 nên d = 1

Vậy (a; a - b) = 1

Bài 1:

Vì \(ƯCLN\left(a,b\right)=16\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=16.m\\b=16.n\end{cases};\left(m,n\right)=1;m,n\in N}\)

Thay a = 16.m, b = 16.n vào a+b = 128, ta có:

\(16.m+16.n=128\)

\(\Rightarrow16.\left(m+n\right)=128\)

\(\Rightarrow m+n=128\div16\)

\(\Rightarrow m+n=8\)

Vì m và n nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\) Ta có bảng giá trị:

Vậy các cặp (a,b) cần tìm là:

  (16; 128); (128; 16); (48; 80); (80; 48).

Bài 2:

Gọi d là ƯCLN (2n+1, 2n+3), d  \(\in\) N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Vì 2n+3 và 2n+1 không chia hết cho 2

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(2n+1,2n+3\right)=1\)

\(\Rightarrow\) 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

cam on ban nhieu lam cuu tinh

a ban thieu mat bai 3 nhung ko sao dau

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(a,b)$

$\Rightarrow a\vdots d; b\vdots d$

$\Rightarrow a+b\vdots d\Rightarrow p\vdots d$
Mà $p$ là snt nên $d=1$ hoặc $d=p$

Nếu $d=p$ thì $a\vdots p\Rightarrow a\vdots a+b$ (vô lý với mọi $a,b$ là số nguyên dương.

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow a,b$ là 2 số nguyên tố cùng nhau.

so nguyen to nho nhat do la 2

a) Xét các trường hợp p nguyên tố: 

* Xét p = 2 thì p² + 8 = 2² + 8 = 12 (không là số nguyên tố, loại)

* Xét p = 3 thì p² + 8 = 3² + 8 = 17 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó p² + 2 = 3² + 2 = 11 (là số nguyên tố, đpcm)

* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)

+) Nếu p = 3k + 1 thì p² + 8 = (3k + 1)² + 8 = 9k² + 6k + 9 = 3 (3k²  + 2k + 3)\(⋮\)3 mà 3 (3k² +2k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

+) Nếu p = 3k + 2 thì p² + 8 = (3k + 2)² + 8 = 9k² + 12k + 12 = 3 (3k²  + 6k + 4)\(⋮\)3 mà 3 (3k²  + 6k + 4) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

Vậy nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 là số nguyên tố (đpcm)

b) Xét các trường hợp p nguyên tố: 

* Xét p = 2 thì 8p² + 1 = 8.2² + 1 = 33 (không là số nguyên tố, loại)

* Xét p = 3 thì 8p² + 1 = 8.3² + 1 = 73 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó 2p + 1 = 2.3 + 1 = 7 (là số nguyên tố, đpcm)

* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)

+) Nếu p = 3k + 1 thì 8p² + 1 = 8(3k + 1)² + 1 = 8(9k² + 6k + 1) + 1 = 3(24k² + 16k + 3)\(⋮\)3 mà 3(24k² + 16k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

+) Nếu p = 3k + 2 thì 8p² + 1 = 8(3k + 2)² + 1 = 8(9k² + 12k + 4) + 1 = 3(24k² + 32k + 11)\(⋮\)3 mà 3(24k² + 32k + 11) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

Vậy nếu p và 8p² + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 là số nguyên tố (đpcm)