1, \(y=2-sin\left(\dfrac{3x}{2}+x\right).cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)

 \(y=2-\left(-cosx\right).\left(-sinx\right)\)

y = 2 - sinx.cosx

y = \(2-\dfrac{1}{2}sin2x\)

Max = 2 + \(\dfrac{1}{2}\) = 2,5

Min = \(2-\dfrac{1}{2}\) = 1,5

2, y = \(\sqrt{5-\dfrac{1}{2}sin^22x}\)

Min = \(\sqrt{5-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Max = \(\sqrt{5}\)

a.

\(y'=\dfrac{2-x}{2x^2\sqrt{x-1}}=0\Rightarrow x=2\)

\(y\left(1\right)=0\) ; \(y\left(2\right)=\dfrac{1}{2}\) ; \(y\left(5\right)=\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow y_{min}=y\left(1\right)=0\)

\(y_{max}=y\left(2\right)=\dfrac{1}{2}\)

b.

\(y'=\dfrac{1-3x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}< 0\) ; \(\forall x\in\left[1;3\right]\Rightarrow\) hàm nghịch biến trên [1;3]

\(\Rightarrow y_{max}=y\left(1\right)=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)

\(y_{min}=y\left(3\right)=\dfrac{6}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\)

c.

\(y=1-cos^2x-cosx+1=-cos^2x-cosx+2\)

Đặt \(cosx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)

\(y=f\left(t\right)=-t^2-t+2\)

\(f'\left(t\right)=-2t-1=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(-1\right)=2\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow y_{min}=0\) ; \(y_{max}=\dfrac{9}{4}\)

d.

Đặt \(sinx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)

\(y=f\left(t\right)=t^3-3t^2+2\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2-6t=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=2\notin\left[-1;1\right]\end{matrix}\right.\)

\(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(0\right)=2\)

\(\Rightarrow y_{min}=-2\) ; \(y_{max}=2\)

Em kiểm tra đề là \(\dfrac{y^2}{4}\) hay \(\dfrac{y^4}{4}\)

Nếu đề đúng là \(\dfrac{y^4}{4}\) thì có thể coi như là không giải được

\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(x^2-xy+\dfrac{y^2}{4}\right)+xy=2\)

\(\Leftrightarrow2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+xy\ge xy\)

\(\Rightarrow P_{max}=2023\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\x-\dfrac{y}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right);\left(1;2\right)\)

\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(x^2+xy+\dfrac{y^2}{4}\right)-xy=2\)

\(\Rightarrow2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2-xy\ge-xy\)

\(\Rightarrow xy\ge-2\Rightarrow P\ge2019\)

\(P_{min}=2019\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\x+\dfrac{y}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;2\right);\left(1;-2\right)\)

Lời giải:

$G=\frac{x^2+x+2}{2x^2-2x+3}$

$\Rightarrow G(2x^2-2x+3)=x^2+x+2$
$\Leftrightarrow x^2(2G-1)-x(2G+1)+(3G-2)=0(*)$

Vì $G$ tồn tại nên dấu "=" tồn tại, điều này có nghĩa là $(*)$ luôn có nghiệm.

$\Rightarrow \Delta=(2G+1)^2-4(2G-1)(3G-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow -20G^2+32G-7\geq 0$

$\Leftrightarrow 20G^2-32G+7\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{16+\sqrt{116}}{20}\geq G\geq \frac{16-\sqrt{116}}{20}$

Vậy....

$A=2x-\sqrt{x}=2(x-\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{4^2})-\frac{1}{8}$

$=2(\sqrt{x}-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{8}$

$\geq \frac{-1}{8}$

Vậy $A_{\min}=-\frac{1}{8}$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{16}$

$B=x+\sqrt{x}$

Vì $x\geq 0$ nên $B\geq 0+\sqrt{0}=0$

Vậy $B_{\min}=0$. Giá trị này đạt tại $x=0$

Vì $2-x\geq 0$ (theo ĐKXĐ) nên $C=1+\sqrt{2-x}\geq 1$

Vậy $C_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $2-x=0\Leftrightarrow x=2$

\(P=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\le\dfrac{1}{5}\)

\(P_{max}=\dfrac{1}{5}\) khi \(x+1=0\Rightarrow x=-1\)

\(Q=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}=\dfrac{4x^2+4x+4}{4\left(x+1\right)^2}=\dfrac{3\left(x^2+2x+1\right)+x^2-2x+1}{4\left(x+1\right)^2}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{4\left(x+1\right)^2}\)

\(Q_{min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(x-1=0\Rightarrow x=1\)

1: \(x^2+2x+6=x^2+2x+1+5=\left(x+1\right)^2+5>=5\forall x\)

=>\(P=\dfrac{1}{x^2+2x+6}< =\dfrac{1}{5}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+1=0

=>x=-1

2.Biểu thức luôn xác định

\(y=\dfrac{4}{\sqrt{5-2cos^2sin^2x}}=\dfrac{4}{\sqrt{5-\dfrac{1}{2}sin^22x}}\)

Có: \(1\ge sin^22x\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le-\dfrac{1}{2}sin^22x\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\le\sqrt{5-\dfrac{1}{2}sin^22x}\le\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\ge y\ge\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)

miny=\(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\) \(\Leftrightarrow sin2x=0\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)\)

maxy=\(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin2x=1\\sin2x=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=\dfrac{-\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in Z\right)\)

1.Biểu thức luôn xác định

Xét \(sin2x=0\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)\) khi đó \(y=-6\)

Xét \(sin2x\ne0\) 

=> \(1\ge sin^52x\ge-1\)

\(\Leftrightarrow4-1\le4-sin^52x\le4+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\le\sqrt{4-sin^52x}\le\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}-8\le y\le\sqrt{5}-8\)

\(y=\sqrt{3}-8< -6\) , \(y=\sqrt{5}-8>-6\)

=>min= \(\sqrt{3}-8\) \(\Leftrightarrow sin2x=1\left(tm\right)\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\left(k\in Z\right)\)

maxy=\(\sqrt{5}-8\)\(\Leftrightarrow sin2x=-1\left(tm\right)\) \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\left(k\in Z\right)\)

(câu này e ko chắc)

1. Đặt x = √2.cosα và y = √2.sinα (với α trên [0,3π/2]) 
Ta có: P = 4√2(sinα + cosα)(1 - sinαcosα) - 6sinαcosα 
Đặt t = sinα + cosα = √2.sin(α + π/4) có |t| ≤ √2, nên sinαcosα = (t^2 - 1)/2 
suy ra P = -2√2.t^3 - 3t^2 + 6√2.t + 3. 
Đến đây bạn áp dụng P' = 0 rồi xét các gtrị cực trị. 

2. Đặt x = cosα và y = sinα (với α trên [0,3π/2]) 
Biến đổi P = (6sin2α + cos2α + 1) / (3 + sin 2α - cos 2α) 
Mặt khác lại có (cos2α)^2 + (sin 2α)^2 = 1. 
Ta áp dụng P' = 0 tiếp.