ta có 3494 = 2.

Bài giải : Giả sử a < b < c, ta xét 3 trường hợp như sau : 

TH1: Nếu a = 2; b =3; c = 5 thì a² + b² + c² = 38 ( không phải số nguyên tố )    (1) 

TH2: Nếu a = 3; b = 5; c = 7 thì a² + b² + c² = 83 ( thỏa mãn yêu cầu của đề bài )        ( 2) 

TH3: Nếu a,b,c > 3 => a,b,c không chia hết đc cho 3 

=> a² = 1(mod3); b² = 1(mod3); c² = 1(mod3) => a² + b² + c² = 3(mod3) a² + b² + c² chia hết cho 3               (3) 

=> Kết luận: Từ (1);(2);(3)  ta có thể suy ra chỉ có duy nhất là 3 số là ta cần tìm -  thỏa mãn yêu cầu của đề bài là: 3,5 và 7 . 

Ta thấy rằng: a,b,c cùng chẵn => chẵn (chọn)

                     a,b,c cùng lẻ => lẻ (loại)

                     trong a,b,c có một số lẻ, hai số chẵn => lẻ (loại)

                     trong a,b,c có hai số lẻ, một số chẵn => chẵn (chọn)

Nhưng với trường hợp a,b,c cùng chẵn không thỏa mãn vì \(2^2+2^2+2^2=12\ne3494\)

Nên ta chỉ còn trường hợp trong a,b,c có hai lẻ, một chẵn

Giả sử số chẵn trong ba số đó là c thì \(c=2\Rightarrow a^2+b^2=3490\)

Vì các số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 mà 3490 chia 3 dư 1 nên một trong hai số a,b phải chia hết cho 3. Giả sử số đó là b thì \(b=3\)

\(\Rightarrow a^2=3481\Rightarrow a=59\left(tm\right)\)

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(59;3;2\right)\)và các hoán vị của bộ số này

Nếu a = 2; b = 2 => c = 2² + 1 = 5 (Chọn)

Nếu a > 3 thì a^b lẻ => a^b + 1 là số chẵn => c chẵn Mà c là số nguyên tố => không có số nguyên tố thỏa mãn

Vậy a = b = 2 ; c = 5

Ta có:a^b+1=c

=>a^b=c-1

*Xét c=2

=>a^b=2-1=1=>a^b=1

Vì a>1,b>1

=>a^b>1¹=1

=>1¹>1

=>1>1

=>Vô lí

*Xét c>2

=>c là số lẻ

=>c-1 là số chẵn

=>a^b là số chẵn

=>a là số chẵn

=>a=2

=>2^b+1=c

Với b=2=>c=2²+1=4+1=5

Với b>2

=>b lẻ

=>2^b:3(dư 2)

=>2^b+1 chia hết cho 3

=>c chia hết cho 3

=>c=3

=>2^b=3-1=2

=>b=1

=>Vô lí

Vậy a=2,b=2,c=5