Gọi \(ƯC\left(2n+1;3n+2\right)=d\left(d\in N\right)\)

\(2n+1⋮d,3n+2⋮d\)

\(2\left(3n+2\right)-3\left(2n+1\right)⋮d\)

\(6n+4-6n-3⋮d\)

\(1⋮d\).Do đó d = 1

Vậy 2n + 1 và 3n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(BCNN\left(2n+1;3n+2\right)=\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)\)

a,Gọi d là UCLN(2n+1;3n+2)

Ta có:

3n+2 chia hết cho d

2n+1 chia hết cho d

=> 2(3n+2)-3(n+1)=1 chia hết cho d

=> d E {-1;1}

=> 2n+1 và 3n+2 luôn nguyên  tố cùng nhau

=> BCNN(2n+1,3n+2)=(2n+1)(3n+2)  (ĐPCM)

b, Gọi a là UCLN(2n+1;9n+6)

=> 2n+1 chia hết cho a

9n+6 chia hết cho a

=> 2(9n+6)-9(2n+1) chia hết cho a

=> 3 chia hết cho a=> a E {3;-3;1;-1}

Ta có: 9n+6 thì chia hết cho 3 nhưng 2n+1 thì chưa chắc

2n+1 chia hết cho 3 <=> n=3k+1 (k E N)

Vậy: UCLN(2n+1;9n+6)=3 <=> n=3k+1

còn nếu n khác: 3k+1

=> UCLN(2n+1;9n+6)=1

A = (3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺³) + (2ⁿ⁺² + 2ⁿ⁺³)

= 3ⁿ⁺¹.(1 + 3²) + 2.(2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²)

= 3ⁿ⁺¹.10 + 2.(2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²)

= 3ⁿ⁺¹.5.2 + 2.(2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²)

= 2.(3ⁿ⁺¹.5 + 2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²) ⋮ 2   (1)

A = (3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺³) + (2ⁿ⁺² + 2ⁿ⁺³)

= 3.(3ⁿ + 3ⁿ⁺²) + 2ⁿ⁺².(1 + 2)

= 3.(3ⁿ + 3ⁿ⁺²) + 2ⁿ⁺².3

= 3.(3ⁿ + 3ⁿ⁺² + 2ⁿ⁺²) ⋮ 3   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A ⋮ 2 và A ⋮ 3

⇒ A ⋮ 6

\(A=3^{n+1}+9.3^{n+1}+2^n.4+2^n.8\)

\(=3^{n+1}.10+4.2^n.3\)

\(=3^n.6.5+2^n.2.6⋮6\)

\(\Rightarrow A⋮6\left(đpcm\right)\)

A= (3^n) * 3 + (3^n)*(3^3)+(2^n)*(2^2)+(2^n)*(2^3)

A= (3^n)*(3+9)+(2^n)*(4+8)

A= 12*[(3^n)+(2^n)]

do 12 chia hết cho 6 nên A chia hết cho 6 ( đpcm)

Bạn chọn cách 2 đi, vì cách 2 là cách thông dụng và dễ hiểu nhất !!!

ijpipj

Gọi d la ƯCLN (3n+2; 2n+1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\left(3n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\Leftrightarrow6n+4-6n-3⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ƯCLN (3n+2);(2n+1) =1 (đpcm)

Gọi a là ƯCLN(2n+1;3n+2)

Ta có 2n+1 chia hết cho a nên 3(2n+1) cũng chia hết cho a hay 6n+3 cũng chia hết cho a

Ta có 3n+2 chia hết cho a nên 2(3n+2) cũng chia hết cho a hay 6n+4 cũng chia hết cho a

Ta suy ra [(6n+4)-(6n+3)] chia hết cho a

                  (6n+4-6n-3) chia hết cho a

                   1 chia hết cho a

Gọi \(d\inƯC\left(2n+1;3n+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(2n+1;3n+2\right)=1\)

hay \(\dfrac{2n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản