Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z

\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)

Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)

Với a, b > 0, ta có: 

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.

Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi

\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.

\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)

\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)

\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)

từ giả thiết, ta có \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\le1\)

Mà \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\Rightarrow a+b\le1\)

Mà từ BĐT cô-si, ta luôn có \(\left(a+b\right)^3\ge4ab\left(a+b\right)\ge4\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\ge\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\)

Mà áp dụng BĐT Bu-nhi-a , ta có \(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)

=>\(\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\le\frac{1}{2}\)

Mà \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+b^2}=\frac{4}{2+\frac{1}{2}}=\frac{8}{5}\)

Dấu = xảy ra ,=> a=b=1/2

^_^

\(a^3+b^3\le ab\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)\le ab\Leftrightarrow a+b\le1.\).Ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}.\)

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+b^2}=\frac{4}{2+\left(a+b\right)^2-2ab}\ge\frac{4}{2+1-\frac{1}{2}}\ge\frac{8}{5}.\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1/2.

Trần Hữu Ngọc Minh, cho t hỏi 

\(ab\le\frac{1}{4}\Rightarrow-2ab\ge-\frac{1}{2}\)

Tức là k đánh giá được mẫu !!!?

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân