Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M (AM=BM). Lấy N,P trên BC và CD sao cho MN//AP
1. CMR tam giác BNO đồn dạng với tam giác DOP và góc NOP=45o
2. BD, AN, PM đồng quy
3. 1/AN2 + 1/AE2 không đổi khi N đi động trên BC
Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD). Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = CN.
c) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt AB tại P, cắt cạnh CD tại Q. chứng minh rằng PBQD là hình thoi.
c) PQ ⊥ BD (gt). Xét các tam giác vuông POB và QOD có:
∠POB = ∠QOD∠ (đối đỉnh),
OB = OD
∠PBO = ∠QDO (so le trong).
Do đó ΔPOB = ΔQOD (g.c.g) ⇒ BP = DQ
Lại có BP // DQ nên tứ giác PBQD là hình bình hành
Mặt khác PBQD có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.
Bài tập : Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Trên cạnh AB lấy M ( 0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho góc MON = 90 độ.. Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE.
1. Chứng minh : Tam giác MON vuông cân
2. Chứng minh MN song song với BE
3. Chứng minh CK vuông góc với BE
4. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh: KC/KB + KN/KH + CN/BH = 1.
Bài 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên
cạnh AB lấy M ( 0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho góc MON = 90 độ. Gọi E là giao điểm của AN và DC, gọi K là giao điểm của ON,BE.
Chứng minh:
1.Tam giác MON
vuông cân
2. Chứng minh MN song song với BE
3. Chứng minh CK vuông góc với BE
4. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh KC/KB + KN/KH + CN/BH =1.
Cho hình chữ nhật ABCD ( AB > CB). Trên AD, BC lấy E, F sao cho AE= CF.
a) CMR: BE//DF.
b) Gọi O là trung điểm BD. CMR: AC, BD, EF đồng quy.
c) Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc BD, đ cắt AB tại M, cắt CD tại N. CMR: MBND là hình thoi.
d) Đường thẳng qua B//MN, đường thẳng qua N//BD cắt nhau tại K. CMR: AC vuông góc CK.
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC = 2.AB. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chứng minh rằng EM vuông góc với đường chéo BD.
Theo chứng minh ở câu a. △ AEB đồng dạng △ ABC theo tỉ số k = 1/2 nên dễ thấy BE = 1/2 BC hay BE = BM
Suy ra: ΔBEM cân tại B.
Xét tam giác EBC có: 
Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC
BO là đường phân giác góc ở đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).
cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M, 2 đường thẳng MD và CB cát nhau tại K, CM cắt AK tại N. CMR: BN vuông góc DK
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.Trên AB lấy M (0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho MON=900. Gọi E là giao điểm AN với DC, Gọi K là giao điểm ON với BE.
1.Chứng Minh: Tam giác MON vuông cân
2.CM: MN song song BE
3.CM: CK vuông góc BE
1. Cho hình thoi ABCD có số đo góc A bằng 1200. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM=4/3BC. Đường thẳng AM cắt CD tại N. Trên các đoạn thẳng AB, AD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE//NF. Tính số đo góc EOF
2. Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác B và C). Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất.
3.. ABCD là hình chữ nhật có AB //CD, AB = 2CB. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo BD tại H. Trên HB lấy điểm K sao cho HK = HA. Từ K kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại E. Lấy M trung điểm DE, tia AM cắt DB tại N, cắt DC tại P.
Tính tỷ số diện tích tam giác AND với diện tam giác PMD?
Cho hình chữ nhật ABCD (AB<AC). Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Trên BD lấy điểm M sao cho BM = 1/4 BO. Qua M vẽ đường vuông góc với AM cắt CD tại N. Biết rằng AM = 1/2 AN. Chứng minh rằng N là trung điểm cạnh CD.
