a) x² - 2x + 5 = (x - 1)² + 4 >= 4

Min là 4 khi x = 1

Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

\(A=\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{x^2-2x+1+4}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x=1

Ta có  x\(^2\)- 2x +5 

= x\(^2\)- 2x 1 + 1 +4

= (x-1)\(^2\)+ 4 >= 4 với mọi x

hay x\(^2\)- 2x + 5 >= 4 với mọi x

   => \(\sqrt{x^2-2x+5}\)>= 2

 Vậy min A=2 <=> x-1=0

                     <=> x=1 

Ta có: \(\sqrt{x^2-2x+10}=\sqrt{x^2-2x+1+9}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}\ge3\)

          \(\sqrt{x^2+4x+5}=\sqrt{x^2+4x+4+1}=\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}\ge\sqrt{1}\ge1\)

    \(\Rightarrow\)   \(\sqrt{x^2-2x+10}+\sqrt{x^2+4x+5}\ge1+3\ge4\)

Vậy GTNN của biểu thức là 4

\(A=x^2-6x+10\)

\(\Leftrightarrow A=x^2-2\cdot x\cdot3+3^2-9+10\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x-3\right)^2+1\ge1\)     \(\forall x\in z\)

\(\Leftrightarrow A_{min}=1khix=3\)

\(B=3x^2-12x+1\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\sqrt{3}x\right)^2-2\cdot\sqrt{3}x\cdot2\sqrt{3}+\left(2\sqrt{3}\right)^2-12+1\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\right)^2-11\ge-11\)    \(\forall x\in z\)

\(\Leftrightarrow B_{min}=-11khix=2\)

Ta có: x+3y=5 => x=5-3y 

Lại có: A=x^2+y^2+16y+2x

=> A=(5-3y)^2+y^2+16y+2(5-3y)=25-30y+9y^2+y^2+16y+10-6y

       =35+10y^2-20y=10(y^2-2y+1)+25=10(y-1)^2+25

Ta thấy: 10(y-1)^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi y

=> A luôn lớn hơn hoặc bằng 25 với mọi y

Dấu "=" xảy ra <=> 10(y-1)^2=0 <=> y=1 => x=5-3*1=2

Vậy minA=25 <=> x=2; y=1

Câu 2:

ĐKXĐ: x<>0

\(B=\dfrac{-x^2-x-1}{x^2}\)

\(=-1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\)

\(=-\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1\right)\)

\(=-\left(\dfrac{1}{x^2}+2\cdot\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)

\(=-\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}< =-\dfrac{3}{4}\forall x< >0\)

Dấu '=' xảy ra khi 1/x+1/2=0

=>1/x=-1/2

=>x=-2