Đặt n² = x \(\left(x\in N\right)\)

Ta có: (x - 4)(x - 14) (x- 24) (x - 34 ) < 0

Lập bảng xét dấu (Hoặc dùng phương pháp khoảng) ta sẽ thu được kết quả:

4 < x < 14 hoặc 24 < x < 34

Dễ thấy chọn được 2 số chính phương trong các khoảng trên: x = 9; x = 25 => n = +/- 3; n = +/- 5

7n + 24 chia hết cho n + 1 

⇒7n + 7 + 17 chia hết cho n + 1

⇒7(n + 1) + 17 chia hết cho n + 1

⇒17 chia hết cho n + 1

⇒n + 1 ∈ Ư(17) = {1; -1; 17; -17} 

Mà n ∈ N

⇒n + 1 ∈ {1; 17}

⇒n ∈ {0; 16} 

Vậy ...

7n + 24 = 7n + 7 + 17 = 7(n + 1) + 17

Để (7n + 24) ⋮ (n + 1) thì 17 ⋮ (n + 1)

⇒ n + 1 ∈ Ư(17) = {-17; -1; 1; 17}

⇒ n ∈ {-18; -2; 0; 16)

Mà n ∈ ℕ

⇒ n ∈ {0; 16}

\(\Leftrightarrow\sqrt{9x^2+16x+96}=3x-16y-24\)

Vế phải nguyên \(\Rightarrow\) vế trái nguyên

\(\Rightarrow9x^2+16x+96=k^2\)

\(\Rightarrow81x^2+144x+864=\left(3k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(9x+8\right)^2+800=\left(3k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(3k-9x-8\right)\left(3k+9x+8\right)=800\)

Pt ước số thật kinh dị với số ước của 800 

Ta có \(9x^2+16x+96=\left(3x-24-16y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow9x^2+16x+96=9x^2-6x\left(16y+24\right)+\left(16y+24\right)^2\)\(\Leftrightarrow16x+96=\left(16y+24\right)\left(16y+24-6x\right)\)

\(\Leftrightarrow8\left(2x+12\right)=4\left(4y+6\right).2\left(8y+12-3x\right)\)

\(\Leftrightarrow2x+12=\left(4y+6\right)\left(8y+12-3x\right)\)\(\Leftrightarrow2x+12=32y^2+48y-12xy+48y+72-18x\)

\(\Leftrightarrow32y^2+96y-12xy-20x+60=0\)\(\Leftrightarrow32y^2+96y+60=12xy+20x\)\(\Leftrightarrow8y^2+24y+15=3xy+5x\)

\(\Leftrightarrow8y^2+24y+15=x\left(3y+5\right)\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{8y^2+24y+15}{3y+5}\)

\(\Leftrightarrow9x=\dfrac{9\left(8y^2+24y+15\right)}{3y+5}=\dfrac{72y^2+216y+135}{3y+5}\)\(=\dfrac{\left(72y^2+120y\right)+\left(96y+160\right)-25}{3y+5}\)\(=24y+32-\dfrac{25}{3y+5}\)

\(\Leftrightarrow24y+32-\dfrac{25}{3y+5}\in Z\)\(\Rightarrow3y+5\in U\left(25\right)=\left\{\pm1,\pm5,\pm25\right\}\)\(\Leftrightarrow3y\in\left\{-4,-6,-10,0,-30,20\right\}\)\(\Rightarrow y\in\left\{-2,-10,0\right\}\)

+) Với y=-2=> x=1

+) với y=-10=> x=-23    

Vậy pt cho 2 cặp (x,y) nguyên =(1,-2),(-23,-10)

Sửa đề: \(x^2-4x+m-6=0\)

\(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot1\left(m-6\right)\)

\(=16-4m+24=-4m+40\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+40>0

=>-4m>-40

=>m<10

Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-6\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+24=4x_2-x_1x_2\)

=>\(x_1^2+24=x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\)

=>\(x_1^2-x_2^2=-24\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=-24\)

=>\(x_1-x_2=-6\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=36\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=36\)

=>\(4^2-4\left(m-6\right)=36\)

=>4(m-6)=16-36=-20

=>m-6=-5

=>m=1(nhận)

Ta có:

\(5x+14y-2xy=35\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-35\right)+\left(14y-2xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(7-x\right)\left(2y-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=7\\y=2,5\end{cases}}\)

Thế x = 7 vào cái còn lại ta được

\(7^2-4y^2=24\)

\(\Leftrightarrow y^2=\frac{25}{4}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{5}{2}\\y=-\frac{5}{2}\end{cases}}\)

Thế y = 2,5 vào cái còn lại ta được

\(x^2-4.2,5^2=24\)

\(\Leftrightarrow x^2=49\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=7\\x=-7\end{cases}}\)

Theo đề suy ra:  \(y=\frac{x^2-24}{x+5}=\frac{x^2-25+1}{x+5}=\frac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)+1}{x+5}=x-5+\frac{1}{x+5}\)

Để \(x,y\inℤ\)thì \(\frac{1}{x+5}\inℤ\Leftrightarrow1⋮\left(x+5\right)\Leftrightarrow x+5=\pm1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-4\Rightarrow y=-8\\x=-6\Rightarrow y=-12\end{cases}}\)

Vậy pt có 2 nghiệm là (-4;-8) và (-6;-12)

Cái chỗ ngoặc vuông thì cái đó là “hoặc” mà . Ngoặc kép mới là “và” mà :(

thì nó đúng là "hoặc" mà bạn, x không thể mang 2 giá trị cùng lúc nên ko lấy dấu "và" đâu !