Cho đường tròn (C) có phương trình x2 +y2 -2x+2y-2=0 và điểm M(3;1). Gọi A, B là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến (C). Tính độ dài dây cung AB.
Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 và điểm A(m; 3). Giá trị của m để từ A kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến (C) là
A. m = 2 hoặc m = 8
B.m = - 2 hoặc m = - 8
C.m = 2 hoặc m = - 8
D.m = - 2 hoặc m = 8
Phương trình của (C) là: x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 ⇔ x − 3 2 + y + 2 2 = 25
Đường tròn (C) có tâm I(3; -2), bán kính R = 5.
Giả sử hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ A là B, C (như hình vẽ).
Khi đó A B ⊥ A C ⇔ Tứ giác IBAC là hình vuông ⟺ tam giác IBA vuông cân
⟺ I A = I B 2 = R 2
⟺ m − 3 2 + 3 + 2 2 = 5 2 2 ⇔ m 2 − 6 m − 16 = 0 ⇔ m = − 2 m = 8
Đáp án là D.
Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 . Một phương trình tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ điểm M(-4; 2) là
A. – 4x + 3y – 22 = 0
B. 4x + 3y + 10 = 0
C. 3x + 4y + 4 = 0
D.3x – 4y +20 = 0
ĐÁP ÁN B
Đường tròn (C): x 2 + y 2 - 4 x + 2 y – 4 = 0 có tâm I(2; -1) và bán kính R = 2 2 + ( − 1 ) 2 + 4 = 3
Tiếp tuyến qua M( -4; 2) và nhận n → ( a ; b ) làm VTPT có phương trình :
a( x+ 4) + b (y – 2)= 0 hay ax + by + 4a – 2b = 0 (*)
Khoảng cách từ tâm I đến tiếp tuyến bằng bán kính nên ta có:
d ( I ; d ) = R ⇔ 2 a − b + 4 a − 2 b a 2 + b 2 = 3 ⇔ 6 a − 3 b a 2 + b 2 = 3 ⇔ 2 a − b a 2 + b 2 = 1 ⇔ 2 a − b = a 2 + b 2 ⇔ 4 a 2 − 4 a b + b 2 = a 2 + b 2 ⇔ 3 a 2 − 4 a b = 0 ⇔ a ( 3 a − 4 b ) = 0 ⇔ a = 0 3 a = 4 b
* Nếu a= 0 , chọn b= 1 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là: y – 2= 0
* Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là:
4x + 3y + 10 = 0
Vậy có 2 tiếp tuyến qua M là: y – 2= 0 và 4x +3y + 10= 0
Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ M(3;1) đến đường tròn: (C) x 2 + y 2 - 4x + 2y + 2 = 0
* Xét đường tròn (C): x 2 + y 2 - 4x + 2y + 2 = 0
ta có:
* Phương trình đường thẳng Δ kẻ từ M(3; 1) có dạng:
a(x - 3) + b(y - 1) = 0 ⇔ ax - 3a + by - b = 0 ⇔ ax + by - 3a - b = 0
* Vì đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:
Vậy phương trình tiếp tuyến kẻ từ M(3;1) đến đường tròn (C): x 2 + y 2 - 4x + 2y + 2 = 0 là:
(2 + 6 )x + 2y - 8 - 3 6 = 0 hoặc (2 - 6 )x + 2y - 8 + 3 6 = 0
trong mặt phẳng với hệ toạn độ Oxy,cho đường thẳng delta:x+y+2=0 và đường tròn (C):x2+y2-4x-2y=0.GỌi I là tâm của (C), M là điểm thuộc delta.QUa M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là tiếp điểm).Tìm toạ độ điểm M,biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10
Đường tròn tâm \(I\left(2;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Do M thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;-m-2\right)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(m-2;-m-3\right)\)
\(\Rightarrow IM^2=\left(m-2\right)^2+\left(m+3\right)^2=2m^2+2m+13\)
\(\Delta_vMIA=\Delta_vMIB\Rightarrow S_{IMAB}=2S_{MIA}=2.\dfrac{1}{2}AM.IA\)
\(\Leftrightarrow10=IA.\sqrt{IM^2-IA^2}=\sqrt{5}.\sqrt{2m^2+2m+13-5}\)
\(\Leftrightarrow2m^2+2m+8=20\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;-4\right)\\M\left(-3;1\right)\end{matrix}\right.\)
Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 + 6 x − 2 y − 8 = 0 . Để qua điểm A(m;2) có hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc thì m nhận giá trị là:
A. m = − 3 ± 35
B. m = 3 ± 5
C. m = ± 3
D. Không tồn tại
Đường tròn (C): x 2 + y 2 + 6 x − 2 y − 8 = 0 có tâm I(-3;1) và bán kính R = 3 2 .
Giả sử hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ A là B, C (như hình vẽ).
Tứ giác IBAC có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Lại có IB = IC = R nên IBAC là hình vuông. Suy ra, tam giác IBA vuông cân.
Chọn A
Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2x + 2y - 2 = 0 và điểm M(-1;1). Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M là:
A. y - 1 = 0
B. y + 1 = 0
C. x - 1 = 0
D. x + 1 = 0
Đáp án: A
Ta có:
(C): x 2 + y 2 + 2x + 2y - 2 = 0 ⇔ (x + 1 ) 2 + (y + 1 ) 2 = 4 ⇒ I(-1;-1)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M là đường thẳng đi qua M và nhận vector IM = (0;2) làm vecto pháp tuyến: 0.(x + 1) + 2.(y - 1) = 0 ⇔ y - 1 = 0
Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 4 = 0 . Để qua điểm A(m; 2 – m) có hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó tạo với nhau góc 60 ° thì m nhận giá trị là
A. m = 0
B. m = ± 1
C. m = ± 2
D. Không tồn tại m
Đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 4 = 0 có tâm I(-2;-1) và bán kính R = 1.
Gọi 2 tiếp điểm là B và C.
Ta có: B A C ^ = 60 0 nên B A I ^ = I A C ^ = 1 2 B A C ^ = 30 0 ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Vì sin B A I ^ = sin 30 0 = 1 2 ; lại có: sin B A I ^ = B I A I = R A I
Suy ra: R A I = 1 2 ⇔ A I = 2 R = 2 ( vì R = 1)
⇔ m + 2 2 + 3 − m 2 = 2 2 ⇒ 2 m 2 − 2 m + 9 = 0 (vô nghiệm).
Chọn D.
Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 + 4 x − 2 y = 0 . Để qua điểm A(m; m+2) có hai tiếp tuyến với (C)thì điều kiện của m là:
A.m > 0
B.m > - 3
C. – 3 < m < 0
D. m > 0 hoặc m < - 3
Qua điểm A(m ; m + 2) có hai tiếp tuyến với (C) khi và chỉ khi A nằm ngoài (C)
⟺ m 2 + m + 2 2 + 4 m − 2 m − 4 > 0 ⇒ 2 m 2 + 6 m > 0 ⇒ m > 0 m < − 3
Chọn D
Cho điểm M(3;1) nằm ngoài (C) có pt \(x^2+y^2-2x+2y-2=0\). Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến đến (C). Gọi A, B là tiếp điểm. Tính độ dài dây cung AB
Đường tròn tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=2\)
\(\overrightarrow{IM}=\left(2;2\right)\Rightarrow IM=2\sqrt{2}\)
Tam giác MAI vuông tại A nên: \(AM^2=IM^2-R^2=4\Rightarrow AM=2=IA\)
\(\Rightarrow\Delta MAI\) vuông cân tại A \(\Rightarrow MAIB\) là hình vuông
\(\Rightarrow AB=IM=2\sqrt{2}\)