Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) nên theo hệ thức VI-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=3m+6\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1,x_2\) là độ dài của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5  nên ta có:\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=25\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\Rightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(3m+6\right)=25\Leftrightarrow m^2+10m+25-6m-12=25\Leftrightarrow m^2+4m-12=0\Leftrightarrow m^2-2m+6m-12=0\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+6\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-6\end{matrix}\right.\) b Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-6\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow T=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2m-6\right)^2-2\left(2m-2\right)=4m^2-24m+36-4m+4=4m^2-28m+40=4m^2-28m+49-9=\left(2m-7\right)^2-9\ge-9\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\)

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4.2.\left(-1\right)=\left(m-1\right)^2+8>0\forall m\)

Để \(x_1,x_2\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông thì \(x_1>0;x_2>0\)

Áp dụng hệ thức Vi - ét , ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-m+1}{2}\\x_1x_2=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\left(2\right)\)

Cạnh góc vuông \(=\sqrt{\dfrac{4}{5}}\Rightarrow\) \(x_1^2+x_2^2=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\dfrac{4}{5}\left(1\right)\)

Thay \(\left(2\right)\) vào \(\left(1\right)\) , ta được :

\(\left(\dfrac{-m+1}{2}\right)^2-2.\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{4}{5}\)

Bạn tự tính ra m tmđk nha

Giao thừa còn làm bài gì đấy :)

\(2x^2+\left(m-1\right)x-m-1=0\left(1\right)\)

- Gọi x₁, x₂ lần lượt là 2 nghiệm của phương trình (1).

Ta có \(x_1>0,x_2>0\) và \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{5}{4}\left(2\right)\).

Để phương trình có nghiệm thì: \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)^2+4.2\left(m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1+8m+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2+6m+9\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)^2\ge0\).

Ta thấy bất đẳng thức cuối cùng là luôn đúng nên phương trình (1) luôn có nghiệm với \(\forall m\).

Để phương trình có 2 nghiệm dương thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{m-1}{2}>0\\-\dfrac{m+1}{2}>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m< -1\)

\(\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{-\dfrac{m-1}{2}}{-\dfrac{m+1}{2}}=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{m-1}{m+1}=\dfrac{5}{4}\)

Giải ra ta có \(m=-9\left(tmđk\right)\)

\(\Delta=\left(m+5\right)^2-4\left(3m+6\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\) ;\(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=3m+6\end{matrix}\right.\) 

Do \(x_1;x_2\) là độ dài 2 cạnh tam giác nên \(x_1>0;x_2>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+5>0\\3m+6>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-2\)

Khi đó, áp dụng định lý Pitago:

\(x_1^2+x_2^2=5^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(3m+6\right)=25\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-6< -2\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\)

cho phương trình x²−(m+2)x+3m−3=0  với x là ẩn, m là tham số 

a,Với m = -1 thì pt trở thành

\(x^2-\left(-1+2\right)x+3\left(-1\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=3\end{cases}}\)

b, Vì pt có 2 nghiệm x₁ ; x₂ là độ dài 2 cạnh góc vuông nên x₁ ; x₂ > 0 hay pt có 2 nghiệm dương 

Tức là \(\hept{\begin{cases}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(m+2\right)^2-4\left(3m-3\right)>0\\m+2>0\\3m-3>0\end{cases}}\)

                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2+4m+4-12m+12>0\\m>1\end{cases}}\)

                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2-8m+16>0\\m>1\end{cases}}\)

                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m-4\right)^2>0\\m>1\end{cases}}\)

                            \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>1\\m\ne4\end{cases}}\)

Theo hệ thức Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=3m-3\end{cases}}\)
Vì x₁ ; x₂ là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2\left(3m-3\right)=25\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4-6m+6=25\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-5\right)\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m=5\left(Do\text{ }\hept{\begin{cases}m>1\\m\ne4\end{cases}}\right)\)

Vậy m = 5

a: Khi m=-3 thì (1): x^2-(-x)-2=0

=>x^2+x-2=0

=>x=-2 hoặc x=1

b: Δ=(m+2)^2-4(m+1)

=m^2+4m+4-4m-4=m^2>=0

=>Phương trình luôn có 2 nghiệm