cho tam giác ABC có 3 phân giác AD, BE , CF .
a. Tính tỉ số \(\frac{S_{EDF}}{S_{BAC}}theoa,b,c\)
b. CMR : \(S_{EDF}\le\frac{1}{4}S_{BAC}\)
Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF.
CMR : \(S_{DEF}\le\frac{1}{4}S_{ABC}\)
Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF. CMR :
\(S_{DEF}\le\frac{1}{4}S_{ABC}\)
Idol nào làm giúp em bài này với ạ
Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF cắt các cạnh tam giác.
CMR : \(S_{DEF}\le\frac{1}{4}S_{ABC}\)
BE là tia phân giác của góc B nên \(\frac{AE}{BC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{BC+AB}\Rightarrow AE=\frac{bc}{a+c}\)
tương tự \(AE=\frac{bc}{a+b}\) \(\Rightarrow\frac{S_{AEF}}{S}=\frac{AE\cdot AF}{bc}=\frac{bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)
tương tự \(\frac{S_{BDF}}{S}=\frac{ac}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)},\frac{S_{CDE}}{S}=\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)
bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\frac{S_{AEF}}{S}+\frac{S_{BDF}}{S}+\frac{S_{CDE}}{S}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được \(a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b\ge6abc\)
chia 2 vế cho abc ta được \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge6\)
ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
áp dụng cho 3 cặp số suy ra điều phải chứng minh
dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều
Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\)nhọn, đường cao AF, trung tuyến AD, phân giác AE. Biết\(S_{AED}=\frac{1}{14}S_{ABC};S_{AFD}=\frac{7}{50}S_{ABC}\). Tính \(\widehat{BAC}\).
Ta có: SAED = 1/14SABC => ED = 1/14BC
SAFD = 7/50SABC => FD = 7/50BC
=> EC = ED + DC = 1/14BC + 1/2BC = 4/7BC và EB = BC - EC = 3/7BC
=> EB/EC = 3/4 => AB/AC = 3/4 (= EB/EC, theo tính chất đường phân giác trong tam giác)
Hơn nữa SABF = SABD - SAFD = 1/2SABC - 7/50SABC = 9/25SABC
SACF = SACD + SAFD = 1/2SABC + 7/50SABC = 16/25SABC
=> SABF/SACF = 9/16 => FM/FN = 3/4 (với M, N là các chân đường cao hạ từ F xuống AB và AC)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC
Các tam giác ∆ABF và ∆AFC vuông tại F => FI = 1/2AB, FJ = 1/2AC => FI/FJ = AB/AC = 3/4
Từ đó FM/FN = FI/FJ => ∆MIF ~ ∆NJF (ch - cgv) => ^MIF = ^NJF
Mà ∆IBF cân tại I, ∆AJF cân tại J
=> ^IFB = ^FAJ (1)
∆IAF cân tại I => ^IFA = ^IAF (2)
Từ (1) và (2) suy ra ^IAF + ^FAJ = ^IFA + ^IFB = 900 => ^BAC = 900.
Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.
a) Chứng minh \(\frac{{{S_{BDE}}}}{{{S_{BAC}}}} = \frac{{BD.BE}}{{BA.BC}}.\)
b) Biết rằng \({S_{ABC}} = 9{S_{BDE}}\) và \(DE = 2\sqrt 2 .\) Tính \(\cos B\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tham khảo:
a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\) cho tam giác ABC và BED, ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BA.BC.\sin B;{S_{BED}} = \frac{1}{2}..BE.BD.\sin B\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{BED}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.BE.BD.\sin B}}{{\frac{1}{2}.BA.BC.\sin B}} = \frac{{BE.BD}}{{BA.BC}}\)
b) Ta có: \(\cos B = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BE}}{{BC}}\)
Mà \(\frac{{{S_{BED}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{{BD}}{{BA}}.\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{1}{9}\)
\( \Rightarrow \cos B = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)
+) Xét tam giác ABC và tam giác DEB ta có:
\(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{1}{3}\) và góc B chung
\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DEB\) (cgc)
\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AC = 3.DE = 3.2\sqrt 2 = 6\sqrt 2 .\)
Ta có: \(\cos B = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin B = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) (do B là góc nhọn)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{6\sqrt 2 }}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}:2 = \frac{9}{2}\)
Cho △nhọn ABC có ∠A= 2∠B. Kẻ đường phân giác AD và đường cao AH
a) CMR AC2=DC.BC
b) CMR BC2-AC2=AB.AC
c) CMR S△ABC=\(\dfrac{AH^2}{2\sin\text{∠}BAC}\)
d) Biết ∠BAC=80°. Tính \(\dfrac{S_{\Delta ADH}}{S_{\Delta ABC}}\) phụ thuốc vào tỉ số lượng giác của các gọc nhọn
Giúp em câu c,d với ạ
CHO TAM GIÁC ABC, 3 TRUNG TUYẾN AD,BE,CF ĐỒNG QUI TẠI G. CM \(S_{GDE}=\frac{1}{2}S_{GDC}=\frac{1}{3}S_{EDC}=\frac{1}{4}S_{GAB}=\frac{1}{6}S_{ABE}=\frac{1}{9}S_{ABDE}\)
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a=bc, b=ca, c=ab. Dựng các đường phân giác trong AD, BE, CF. Chứng minh:
1) \(\frac{S_{DFE}}{S_{ABC}}=\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
2) \(S_{DFE}=\frac{S_{ACB}}{4}\)
3) Cho chu vi tam giacsABC là 9 cm. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác DEF
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a)CMR:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)
b)CMR:\(S_{DÈF}=\left(1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\right)S_{ABC}\)
c)Cho biết AH=k.HD. CMR: \(\tan B.\tan C=k+1\)
d)CMR:\(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge\sqrt{3}\)