Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)
Cho 3 số a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)
ta chứng minh đc \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
thay vào + biến đổi ta có đpcm
đẳng thúc xảy ra khi a=b=c
lol!!!
Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)
Ta có BĐT:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\)\(\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{ac\left(a+b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{abc}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
cho a,b,c là số thực dương,chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)
Với a , b , c là các số thực dương: Chứng minh rằng với \(abc=1\)
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)
Lời giải:
Trước tiên ta đi cm bất đẳng thức sau: với \(a,b>0\) thì \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
BĐT đúng vì nó tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) ( luôn đúng)
Do đó:, kết hợp với \(abc=1\Rightarrow \)\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{a+b+c}=1=\frac{1}{abc}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2.\left(a+b\right)\ge0\Leftrightarrow a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
TT: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(\le\frac{1}{a+b+c}.\frac{c+a+b}{abc}=\frac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2-ab+b^2\ge ab\\b^2-bc+c^2\ge bc\\c^2-ca+a^2\ge ca\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\\\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\ge bc\left(b+c\right)\\\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)\ge ca\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\)
Áp dụng hẳng đẳng thức tổng 2 lập phương
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\\b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\\c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc\\b^3+c^3+abc\ge bc\left(b+c\right)+abc\\c^3+a^3+abc\ge ca\left(c+a\right)+abc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\\b^3+c^3+abc\ge bc\left(a+b+c\right)\\c^3+a^3+abc\ge ca\left(a+b+c\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}\\\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}\le\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}\\\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)
\(\Rightarrow\) ( đpcm )
Cho a,b,c > 0 . CM :
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\text{≥}\) \(\left(a+b\right)ab\)
⇒ \(a^3+b^3+abc\text{≥}\left(a+b\right)ab+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
Tương tự : \(b^3+c^3+abc\text{ ≥}\left(b+c\right)bc+abc=bc\left(a+b+c\right)\)
\(c^3+a^3+abc\text{ ≥}\left(a+c\right)ac+abc=ac\left(a+b+c\right)\)
⇒ \(VT\text{ }\text{≤}\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)=\dfrac{1}{a+b+c}.\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{abc}\)
Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc\le 1.$ Chứng minh rằng $\dfrac{a\left( 1-{{b}^{3}} \right)}{{{b}^{3}}}+\dfrac{b\left( 1-{{c}^{3}} \right)}{{{c}^{3}}}+\dfrac{c\left( 1-{{a}^{3}} \right)}{{{a}^{3}}}\ge 0$.
cho a, b, c > 0 và abc=1.
Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)
cho các số thực không âm a,b,c chứng minh:
1, \(a^3+b^3\)≥\(ab\left(a+b\right)\)
2, \(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\)≤\(\dfrac{1}{abc}\) (với a,b,c>0)
3, \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)≥8abc
mng tham khảo giải giúp em vớiii
3: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\b+c>=2\sqrt{bc}\\a+c>=2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>=8abc\)
1: =>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0
=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0
=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)
2) Áp dụng bất đẳng thức ở câu 1 ta có:
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}\le\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)
và \(\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\dfrac{1}{a+b+c}.\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
cho 3 số dương a,b,c thảo mãn abc =1 . chứng minh
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\) với \(x;y;z>0\Rightarrow xyz=1\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có: \(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)
\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{xyz}{yz+z+xyz}+\dfrac{y}{xyz+xy+y}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{xy}{y+1+xy}+\dfrac{y}{1+xy+y}\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)