Tìm tính chất của tam giác ABC, biết\(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|\)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|\) thì tam giác ABC là tam giác vuông tại C ?
Dựng hình hình hành CADB.
Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}\).
Vì vậy \(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|=CD\);
Mặt khác \(\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA\).
Suy ra: \(CD=AB\).
Hình bình hành CADB có hai đường chéo bằng nhau (\(CD=AB\) )nên hình bình hành CADB là hình chữ nhật.
Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu \(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|\) thì ΔABC vuông tại C
\(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|\)
\(\Leftrightarrow CA^2+CB^2+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA^2+CB^2-2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow4\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0\)
\(\Rightarrow CA\perp CB\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại C
cho tam giác ABC vuông tại A và B = 30o .Tính các giá trị của biểu thức sau:
a) \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)+\tan\frac{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)}{2}\)
B) \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)+\cos\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA}\)
Do tam giác ABC vuông tại A và \(\widehat{B}=30^o\) \(\Rightarrow C=60^o\)
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=150^o;\)\(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=30^o;\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=120^o\)
\(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=90^o;\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=30^o\).Do vậy:
a) \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)+\tan\frac{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)}{2}\)
\(=\cos150^o+\sin30^o+\tan60^o\)
\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{3}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
b) \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB}\right)+\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\sin90^o+\cos30^o+\cos0^o\)
\(=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
Cho tam giác đều ABC,G là trọng tâm
\(a,\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\right)\)
\(b,\left(\overrightarrow{AB,}\overrightarrow{BC}\right)\)
\(c,\left(\overrightarrow{AG},\overrightarrow{GC}\right)\)
a. \(=\widehat{ABC}=60^o\)
b. \(=120^o\)
c. \(=30^o\)
a) Cho tam giác ABC đều. Tính giá trị biểu thức \(P=\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\right)+\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}\right)\)
b) Cho cung lượng giác có số đo x thỏa mãn tan x =2. Giá trị biểu thức \(A=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\)
c) Giá trị biểu thức \(A=\dfrac{\cos\left(750\right)+\sin\left(420\right)}{\sin\left(-330\right)-\cos\left(-390\right)}\)
a.
\(P=cos120^0+cos120^0+cos120^0=-\dfrac{3}{2}\)
b.
\(A=\dfrac{\dfrac{sinx}{cosx}-\dfrac{cosx}{cosx}}{\dfrac{sinx}{cosx}+\dfrac{cosx}{cosx}}=\dfrac{tanx-1}{tanx+1}=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}\)
c.
\(A=\dfrac{cos\left(720+30\right)+sin\left(360+60\right)}{sin\left(-360+30\right)-cos\left(-360-30\right)}=\dfrac{cos30+sin60}{sin30-cos30}=-3-\sqrt{3}\)
cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 1. phát biểu nào đúng ? ( giải thích dùm mình)
a> \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=\sqrt{3}\)
b> \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=0\)
c> \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=2\)
d> \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=0\)
Gọi M là trung điểm của BC
Ta có: ΔABC đều
mà AM là đường trung tuyến
nên AM\(\perp\)BC tại M
Xét ΔAMB vuông tại M có \(sinB=\dfrac{AM}{AB}\)
=>\(\dfrac{AM}{1}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(AM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)
=>\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)
=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=2\cdot AM=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)
=>A đúng, B và C đều sai
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\)
\(=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=1\)
=>D sai
ChoΔABC tìm điểm M thõa mãn \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}\right|\)
Dựng hình bình hành ABDC \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\)
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MD}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|\)
\(\Leftrightarrow MD=MA\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là đường trung trực của đoạn thẳng AD
Cho hình vuông ABCD cạnh a, O=\(AB\cap BD\). Tính:
\(\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\right|\),\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right|\), \(\left|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}\right|\)
\(\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=OD=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\right|=2\left|\overrightarrow{AB}\right|=2AB=2a\)
\(\left|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=a\sqrt{2}\)
Cho hình vuông ABCD cạnh a; O=\(AB\cap BD\). Tính:
\(\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\right|\), \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right|\), \(\left|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}\right|\)