Lời giải:

Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$

Lại có:

Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$

$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$

Cộng theo vế ta được:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

Lời giải:

Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$

Lại có:

Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$

$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$

Cộng theo vế ta được:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

Ta có:

\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)

\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)

\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)

\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Ta co: \(\hept{\begin{cases}x^2-y+\frac{1}{4}=0\\y^2-x+\frac{1}{4}=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

Vậy \(x=y=\frac{1}{2}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2-y+\frac{1}{4}=0\\y^2-x+\frac{1}{4}=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

Vậy \(x=y=\frac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)

=>x^2+2xy+y^2-4xy>=0

=>(x-y)^2>=0(luôn đúng)

Đặt \(x=\sqrt{10}sin^2a\); \(y=\sqrt{10}cos^2a\)

(Lúc đó: \(x+y=\sqrt{10}\left(sin^2a+cos^2a\right)=\sqrt{10}\))

Lúc đó: \(K=\left(1+100sin^8a\right)\left(1+100cos^8a\right)\)

\(=10^4sin^8acos^8a+200sin^4acos^4a-400sin^2acos^2a+101\)

Đặt \(sin^2acos^2a=l\)

\(\Rightarrow K=f\left(l\right)=10^4l^4+200l^2-400l+101\)

\(\Rightarrow K_{min}=f\left(\frac{1}{5}\right)=45\)

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $A=(x^{4}+1)(y^{4}+1)$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

@ ctk @ Cách hay! :))). Tham khảo thêm cách này nhé!

 \(K=x^4y^4+x^4+y^4+1\)

Ta có: \(x+y=\sqrt{10}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=10\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=10-2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2=\left(10-2xy\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4=100-40xy+2x^2y^2\)

Khi đó: \(K=x^4y^4+2x^2y^2-40xy+101=\left(xy\right)^4-8x^2y^2+10x^2y^2-40xy+101\)

\(=\left(x^2y^2\right)^2-2.x^2y^2.4+16+10\left(x^2y^2-4xy+4\right)+45\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)

"=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}xy=4\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}}\). Em tự giải tìm x, y nhé!