Có hay không số tự nhiên m,n khác 0 để 9^n + 2017^m là số chính phương ?
M là một số chính phương không nếu :M=1+3+5+...+(2n-1) (Với n là số tự nhiên và n khác 0)
Có hay không số tự nhiên n để \(1990+n^2\) là số chính phương ?
Lời giải:
Ta thấy 1 scp khi chia 4 luôn có dư là $0$ hoặc $1$
$\Rightarrow n^2\equiv 0,1 \pmod 4$
Mà $1990\equiv 2\pmod 4$
$\Rightarrow 1990+n^2\equiv 2, 3\pmod 4$
$\Rightarrow 1990+n^2$ không thể là số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.
Với n là một số tự nhiên khác 0 thì \(n^2+n+1\) là số chẵn hay lẻ và \(n^2+n+1\) có thể là một chính phương hay không?
Ta có:
n2 là số chính phương
Mà n khác 0
\(\Rightarrow\)Có 2 trường hợp:
TH1: n là số chẵn
Ví dụ: n = 2
\(\Rightarrow n^2+n+1=2^2+2+1=4+2+1=7\)
Mà 7 không có số nào mũ 2 bằng
\(\Rightarrow n^2+n+1\)là số lẻ và \(n^2+n+1\)không thể là số chính phương
TH2:
n là số lẻ
Ví dụ: n = 3
\(\Rightarrow n^2+n+1=3^2+3+1=9+3+1=13\)
Mà 13 không có số nào mũ 2 bằng cả
\(\Rightarrow n^2+n+1\)là số lẻ và không thể là số chính phương
Qua 2 trường hợp trên, ta kết luận: với n là số tự nhiên khác 0 thì \(n^2+n+1\)là số lẻ và không thể là số chính phương
Có hay không số tự nhiên n để 2006+n mũ 2 là số chính phương
Lớp 8+9 : Tìm n là số tự nhiên để 2n+2017 và n+2019 là 2 số chính phương.
Ta có :
2n+2017 là số chính phương lẻ => 2n+2017 chia 8 dư 1
=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
=> n+2019 chia ch 4 dư 3
mà số chính phương chia cho 4 dư 0,1
=> không tồn tại n
2n + 2017 là số chính phương lẻ
=> 2n + 2017 chia 8 dư 1 ( do scp lẻ chia 8 dư 1)
=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
=> n + 2019 chia 4 dư 3
Mà scp chia 4 dư 0 hoặc 1
=> n + 2019 ko là scp
Vậy ko tồn tại STN n thoả mãn
Đặt \(\hept{\begin{cases}2n+2017=a^2\\n+2019=b^2\end{cases}\left(a,b\inℕ^∗\right)}\)
Dễ thấy : \(a^2\) là số chính phương lẻ, mà số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1. ( Điều này sẽ được chứng minh ở cuối bài làm ).
\(\Rightarrow2n+2017\equiv1\left(mod8\right)\)
\(\Rightarrow2n⋮8\) \(\Rightarrow n⋮4\)
\(\Rightarrow n+2019:4\) dư 3 hay \(\Rightarrow b^2:4\) dư 3
Lại có : một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1. ( Điều này sẽ được chứng minh ở cuối bài làm )
\(\Rightarrow n+2019\) không phải là số chính phương.
Do đó không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn đề.
*) Chứng minh bài toán phụ :
+) Số chính phương lẻ chia 8 dư 1 :
Ta có : \(\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\) chia 8 dư 1.
+) Một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.
Ta có : \(\left(2k\right)^2=4k^2⋮4\) nên khi chia 4 có số dư là 0.
\(\left(2k+1\right)^2=4k\left(k+1\right)+1\) chia 4 dư 1.
1) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có phải là 1 số chính phương không?
2) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương.
3) Có hay không số tự nhiên n để
\(2002+n^2\)
là số chính phương?
có hay không số tự nhiên n để 2015=n2 là một số chính phương
hơi khó nhưng thôi! Chúc bạn học giỏi
Có hay không số tự nhiên n để n2 + 2006 là một số chính phương
Giả sử a2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 (A thuộc Z) <=> a2 - n2 = 2006
<=> (A - n)(a + n) = 2006 (*)
Thấy a,n khác tính chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thõa mãn (*)
Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (A - n) chia hết cho 2 và (a + n) chia hết cho 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thõa mãn (*)
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương
Có hay không các số tự nhiên n để n^2+2014 là 1 số chính phương