a. Xét ΔABC và ΔHBA :

      \(\widehat{A}\) = \(\widehat{H}\) = 90⁰ (gt)

       \(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow\) ΔABC \(\sim\) ΔHBA (g.g)

b. Xét ΔABC vuông tại A

Theo định lý Py - ta - go ta có:

  BC² = AB² + AC²

  BC² = 6² + 8²

\(\Rightarrow\) BC² = 100

\(\Rightarrow\) BC = \(\sqrt{100}\) = 10 cm

Ta có: ΔABC \(\sim\) ΔHBA 

  \(\dfrac{AH}{CA}\) = \(\dfrac{BC}{BA}\) 

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{8}\) = \(\dfrac{10}{6}\) 

\(\Rightarrow\) AH = 13,3 cm

\(\dfrac{BH}{BA}\) = \(\dfrac{BC}{BA}\) 

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{BH}{6}\) = \(\dfrac{10}{6}\) 

\(\Rightarrow\) BH = 10 cm

c. Xét  ΔAIH và ΔBAC :

  \(\widehat{AIH}\) = \(\widehat{BAC}\) = 90⁰

Ta có: \(\widehat{IAH}\) = \(\widehat{ACB}\)  (phụ thuộc \(\widehat{HAC}\) )

\(\Rightarrow\) ΔAIH \(\sim\) ΔBAC (g.g)

 \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AI}{IH}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\) 

 \(\Rightarrow\)\(\dfrac{AI}{AK}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\) (vì AKIH là HCN)

\(\Rightarrow\) AI . AB = AK. AC(đpcm)

a) Xét ΔABC và ΔHBA ta có:

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0\)

⇒ΔABC∼ ΔHBA

b) Xét ΔABC vuông tại A, áp dụng định lí pytago ta có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

         \(=6^2+8^2\)

         \(=100\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Vì ΔABC ∼ ΔBHA(cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{AB}hay\dfrac{6}{BH}=\dfrac{8}{AH}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)

Suy ra: \(AH=\dfrac{8.3}{5}=4,8\left(cm\right)\)

              \(BH=\dfrac{6.3}{5}=3,6\left(cm\right)\)

a) -Sửa đề: \(AC=4cm\) (sửa lại cho số được đẹp)

-△ABC vuông tại A có: \(BC^2=AB^2+AC^2\).

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

△ACH và △BCA có: \(\widehat{AHC}=\widehat{BAC};\widehat{BCA}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△ACH∼△BCA (g-g) 

\(\Rightarrow\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{4^2}{5}=3,2\left(cm\right)\).

△ABC có: IH//BC (cùng vuông góc AB).

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{CH}{CB}\Rightarrow AI=\dfrac{AB.CH}{CB}=\dfrac{3.3,2}{5}=1,92\left(cm\right)\).

-Tứ giác AIHK có: \(\widehat{IAK}=\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=90^0\).

\(\Rightarrow\)AIHK là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{AKI}=\widehat{CAH}\).

\(\widehat{CAH}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{AKI}=\widehat{ABC}\).

-△AIK và △ACB có: \(\widehat{AKI}=\widehat{ABC};\widehat{BAC}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△AIK∼△ACB (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AIK}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AI}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{1,92}{4}\right)^2=0,2304\)

\(\Rightarrow S_{AIK}=0,2304.S_{ABC}=0,2304.\dfrac{1}{2}.3.4=1,3824\left(cm^2\right)\)

b) *CM cắt AH tại D, BM cắt AC tại F.

AH⊥BC tại H, BM⊥BC tại B \(\Rightarrow\)AH//BM.

E đối xứng với H qua AB \(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{BAM}\)mà \(\widehat{HAB}=\widehat{ABM}\).

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\) \(\Rightarrow\)△ABM cân tại M \(\Rightarrow AM=BM\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{MFA}\) \(\Rightarrow\)△AMF cân tại M \(\Rightarrow AM=FM\).

\(\Rightarrow BM=FM\) nên M là trung điểm BC.

-△BCM có: DH//BM \(\Rightarrow\dfrac{DH}{BM}=\dfrac{DC}{MC}\).

-△FCM có: AD//FM \(\Rightarrow\dfrac{DA}{FM}=\dfrac{DC}{MC}=\dfrac{DH}{BM}\Rightarrow DA=DH\)

\(\Rightarrow\)D là trung điểm AH mà AIHK là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow\)D là trung điểm IK.

-Vậy IK, AH, CM đồng quy tại D.

1: BA=căn 10^2-6^2=8cm

sin ABC=AC/BC=3/5

=>góc ABC=37 độ

AH=6*8/10=4,8cm

BH=BA^2/BC=8^2/10=6,4cm

2: ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên AI*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên AK*AC=AH^2

=>AI*AB=AK*AC

3: AI*AB=AK*AC

=>AI/AC=AK/AB

Xét ΔAIK và ΔACB có

AI/AC=AK/AB 

góc IAK chung

=>ΔAIK đồng dạng với ΔACB

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên \(AK\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AI\cdot AB=AK\cdot AC\)

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC

b: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

AH=6*8/10=4,8cm

BH=6^2/10=3,6cm

CH=10-3,6=6,4cm

c: ΔACB vuông tại A 

mà AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

d: ΔAHB vuông tại H có HI vuông góc AB

nên AI*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên AK*AC=AH^2=AI*AB