\(P\left(x\right)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\)

Theo đề ta có:

\(\hept{\begin{cases}1+a+b+c+d=0\\81+27a+9b+3c+d=0\\625+125a+25b+5c+d=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c+d=-1\\27a+9b+3c+d=-81\\125a+25b+5c+d=-625\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-9\\b=23\\c=-15;\end{cases}d=-1}}\)

Em mới lớp 6 thôi,thông cảm

P(1) = 0 ; P(3) = 0 ; P(5) = 0 nên 1 ; 3 ; 5 lần lượt là nghiệm của phương trình nên 
P(x) chứa nhân tử (x-1), (x-3), (x-5) 
vì P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là một nên P(x) có dạng: 
P(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-a)
 Q = P(-2) + 7P(6)
= (-2-1)(-2-3)(-2-5)(-2-a) + 7(6-1)(6-3)(6-5)(6-a)
= 210 + 105a + 7(90 - 15a)
= 210 + 105a + 630 - 105a
= 840

???????????

Vì P(1)=P(3)=P(5)=0 nên x=1;x=3;x=5 là các nghiệm của P(x)

=> P(x)= (x-1)(x-3)(x-5).H(x) (theo định lý Bezoute)

vì P(x) có bậc 4 đối với biến x và hệ số cao nhất là 1 nên H(x) có dạng x+a

=> P(x)= (x-1)(x-3)(x-5)(x+a)

=> P(-2)= -105a+210

P(6)= 90+15a=> 7P(6)= 630+105a

=> Q= 7p(6)+ p(-2)= 630+105a -105a+210=840

Vì P(1)=P(3)=P(5)=0 nên x=1;x=3;x=5 là các nghiệm của P(x)
=> P(x)= (x-1)(x-3)(x-5).H(x) (theo định lý Bezoute)
vì P(x) có bậc 4 đối với biến x và hệ số cao nhất là 1 nên H(x) có dạng x+a
=> P(x)= (x-1)(x-3)(x-5)(x+a)
=> P(-2)= -105a+210
P(6)= 90+15a=> 7P(6)= 630+105a
=> Q= 7p(6)+ p(-2)= 630+105a -105a+210=840

Lời giải:

Dữ kiện về \(P(1); P(3); P(5)\), kết hợp với đặc điểm $P(x)$ bậc 4 có hệ số cao nhất là $1$ ta sẽ đặt:

\(P(x)=(x-k)(x-1)(x-3)(x-5)+ax^2+bx+c\)

(Ta không cần đặt \(ax^3+bx^2+cx+d\) bởi vì giá trị hệ số bậc 3 đã phụ thuộc vào số tùy biến $k$)

Khi đó:

\(P(1)=P(3)=P(5)=0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ 25a+5b+c=0\end{matrix}\right.\). Hệ này có nghiệm \(a=b=c=0\)

Do đó:

\(P(x)=(x-k)(x-1)(x-3)(x-5)\)

\(\Rightarrow P(-2)=105(k+2)\) và \(P(6)=15(6-k)\)

Suy ra \(Q=P(-2)+7P(6)=105(k+2)+105(6-k)=840\)

P(x) bậc bốn ; x={1;3;5} là nghiệm

<=>P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) .(x-m)

P(-2) = (-2-1) (-2-3)(-2-5) .(-2-m) = 3.5.7.(2+m)

P(6) = (6-1) (6-3)(6-5) (6-m)=5.3.1.(6-m)

Q=P(-2) +7.P(6) =3.5.7(2+m) +3.5.7.(6-m) =3.5.7.[(2+m)+(6-m)]

\(\text{Q=3.5.7.8 =21.40=840}\)