\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\sqrt{2x^2+1}-\left(x+3\right)=x^2\)

=>\(\left(x+3\right)\cdot\left(\sqrt{2x^2+1}-1\right)=x^2\)

=>\(\left(x+3\right)\cdot\dfrac{2x^2+1-1}{\sqrt{2x^2+1}+1}-x^2=0\)

=>\(x^2\left(\dfrac{2\left(x+3\right)}{\sqrt{2x^2+1}+1}-1\right)=0\)

=>x^2=0 hoặc \(\dfrac{2\left(x+3\right)}{\sqrt{2x^2+1}+1}=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\\sqrt{2x^2+1}+1=2x+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x^2+1=\left(2x+5\right)^2;x>=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\4x^2+20x+25-2x^2-1=0;x>=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\\left\{{}\begin{matrix}2x^2+20x+24=0\\x>=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5+\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

=>Phương trình này có 2 nghiệm

Hai câu còn lại bạn tự làm nhé :)

1/ \(\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=1\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2zx+z^2\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)

\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)

Suy ra MIN A = \(-\sqrt{2}\)khi  \(x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\)

2/ \(\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2-4x+4}=x-3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}-\sqrt{\left(x-2\right)^2}=x-3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|-\left|x-2\right|=x-3\)

Xét :

+Với \(x\ge2\) thì  pt trở thành \(\left(x-1\right)-\left(x-2\right)=x-3\Leftrightarrow x=4\) (NHẬN)

+Với \(x\le1\)thì  pt trở thành \(\left(1-x\right)-\left(2-x\right)=x-3\Leftrightarrow x=2\)(LOẠI)

+ Với \(1< x< 2\) thì pt trở thành \(\left(x-1\right)-\left(2-x\right)=x-3\Leftrightarrow x=0\)(LOẠI)

Vậy pt này  có nghiệm duy nhất là x = 4

1.

\(2x+1\ge0\Rightarrow x\ge-\dfrac{1}{2}\)

Khi đó pt đã cho tương đương:

\(x^2+2x+2m=\left(2x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+2m=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+1=2m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^2+2x+1\) trên \([-\dfrac{1}{2};+\infty)\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{3}< -\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{3}< 2m\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}< m\le\dfrac{3}{8}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{8}\)

3.

Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{t}\\x=-\sqrt{t}\end{matrix}\right.\)

Pt trở thành: \(t^2-3mt+m^2+1=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=9m^2-4\left(m^2+1\right)>0\\t_1+t_2=3m>0\\t_1t_2=m^2+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Ta có:

\(M=x_1+x_2+x_3+x_4+x_1x_2x_3x_4\)

\(=-\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}+\left(-\sqrt{t_1}\right)\left(-\sqrt{t_2}\right)\sqrt{t_1}.\sqrt{t_2}\)

\(=t_1t_2=m^2+1\) với \(m>\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

2.

ĐKXĐ: \(1\le x\le3\)

Pt tương đương:

\(-x^2+4x-3=2m+3x-x^2\)

\(\Leftrightarrow x=2m+3\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(1\le2m+3\le3\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=1\)

Đk:\(3\le x\le7\)

Có \(\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}\right)^2=4+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(7-x\right)}\ge4;\forall3\le x\le7\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}\ge2\) (I)

Có \(6x-7-x^2=2-\left(x^2-6x+9\right)=2-\left(x-3\right)^2\le2\) (II)

Từ (I) và (II) => Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\left(x-3\right)\left(7-x\right)}=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=3\) (tm)

Vậy...

ĐKXĐ: \(3\le x\le7\)

Ta có:

\(VT=\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}\ge\sqrt{x-3+7-x}=2\)

\(VP=2-\left(x-3\right)^2\le2\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(7-x\right)=0\\\left(x-3\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=3\)

ĐKXĐ: \(3\le x\le7,6x-7-x^2\ge0\)

\(\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}=6x-7-x^2\)

Ta có: \(-x^2+6x-7=-\left(x^2-6x+9\right)+2=-\left(x-3\right)^2+2\le2\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}\right)^2=x-3+7-x+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(7-x\right)}\)

\(=4+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(7-x\right)}\ge4\Rightarrow\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}\ge2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+6x-7=2\\\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}=2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=3\)

Vậy pt có nghiệm là 3

Lời giải:

Đặt $\sqrt[3]{x}=a; \sqrt[3]{2x-3}=b$. Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}\\ 2a^3-b^3=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3+3ab(a+b)=4(a^3+b^3)\\ 2a^3-b^3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3=ab(a+b)\\ 2a^3-b^3=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-b)^2(a+b)=0(1)\\ 2a^3-b^3=3(2)\end{matrix}\right.\)

Từ $(1)$ suy ra $a=b$ hoặc $a=-b$.

Nếu $a=b$. Thay vào $(2)$ suy ra $a^3=b^3=3$

$\Leftrightarrow x=2x-3=3$ (thỏa mãn)

Nếu $a=-b$. Thay vào $(2)$ suy ra $a^3=1; b^3=-1$

$\Leftrightarrow x=1; 2x-3=-1$ (thỏa mãn)

Vậy $x=3$ hoặc $x=1$

ĐKXĐ: \(x\ge3\)

\(pt\Leftrightarrow5\sqrt{x-3}+3\sqrt{x-3}-\sqrt{x-3}=7\)

\(\Leftrightarrow7\sqrt{x-3}=7\Leftrightarrow\sqrt{x-3}=1\)

\(\Leftrightarrow x-3=1\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)