Nếu a và b là hai số nguyên dương thỏa mãn a2 -b2 = 97 thì a2 + b2 bằng bao nhiêu ?
Những câu hỏi liên quan
Cho hai số nguyên dương a,b thỏa mãn √(a2+1)(b2+1)=√2022(a2+1)(b2+1)=2022. Tính A=a√b2+1+b+√a2+1
Bạn cần viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.
Đúng 0
Bình luận (1)
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a + b ≤ 2.
Chứng minh a2/a2 + b2/b2 + a ≤ 1
Sửa đề : \(\dfrac{a^2}{a^2+b}+\dfrac{b^2}{b^2+a}\le1\\ \) (*)
\(< =>\dfrac{a^2\left(b^2+a\right)+b^2\left(a^2+b\right)}{\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)}\le1\\ < =>a^2b^2+a^3+b^2a^2+b^3\le\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)\) ( Nhân cả 2 vế cho `(a^{2}+b)(b^{2}+a)>0` )
\(< =>a^3+b^3+2a^2b^2\le a^2b^2+b^3+a^3+ab\\ < =>a^2b^2\le ab\\ < =>ab\le1\) ( Chia 2 vế cho `ab>0` )
Do a,b >0
Nên áp dụng BDT Cô Si :
\(2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}< =>\sqrt{ab}\le1\\ < =>ab\le1\)
Do đó (*) luôn đúng
Vậy ta chứng minh đc bài toán
Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b>0,a+b=2< =>a=b=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
a Sửa đề : Chứng minh \(\dfrac{a^2}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2}{b^2+a}\)\(\le\) 1 ( Đề thi vào 10 Hà Nội).
Bất đẳng thức trên tương đương :
\(\dfrac{a^2+b-b}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2+a-a}{b^2+a}\)\(\le\)1
\(\Leftrightarrow\) 1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\)+ 1 - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)1
\(\Leftrightarrow\)1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\) - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)0
\(\Leftrightarrow\)- \(\dfrac{b}{a^2+b}\)- \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)-1
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)+ \(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\ge\)1
Xét VT = \(\dfrac{a^2}{ab^2+a^2}\)+ \(\dfrac{b^2}{a^2b+b^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab^2+a^2+a^2b+b^2}\) (Cauchy - Schwarz)
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(b+a\right)+a^2+b^2}\)
\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a^2+b^2}\)
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)= 1
Vậy BĐT được chứng minh
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = 1
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn ab + 1 chia hết cho a2 + b2 . Hãy chứng minh rằng: a2 + b2 / ab + 1 là bình phương của một số nguyên.
Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 12
Cho hai số thục dương a và b thỏa mãn
a
2
+
b
2
98
a
b
. Khẳng định nào sau đây là đúng? A.
2
log
2
(
a
+
b
)
l
o
g
2
a
+
log
2
b
B.
log...
Đọc tiếp
Cho hai số thục dương a và b thỏa mãn a 2 + b 2 = 98 a b . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 2 log 2 ( a + b ) = l o g 2 a + log 2 b
B. log 2 a + b 2 = l o g 2 a + log 2 b
C. 2 log 2 a + b 10 = l o g 2 a + log 2 b
D. log 2 a + b 10 = 2 l o g 2 a + log 2 b
cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=2019. Tìm GTNN : a3/a2+b2+ab + b3/b2+c2+bc + c3/c2+a2+ca
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
a
2
+
b
2
98
a
b
. Khẳng định nào sau đây đúng ? A.
2
log
2
a
+
b
log
2
a
+
log
2
b
B.
log...
Đọc tiếp
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a 2 + b 2 = 98 a b . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. 2 log 2 a + b = log 2 a + log 2 b
B. log 2 a + b 2 = log 2 a + log 2 b
C. 2 log 2 a + b 10 = log 2 a + log 2 b
D. log 2 a + b 10 = 2 log 2 a + log 2 b
Chọn C.
Phương pháp: Để làm tốt dạng toán này chúng ta cần quan sát 4 đáp án xem có đặc điểm gì chung. Từ đó tìm ra phép biến đổi phù hợp.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
a
2
+
b
2
98
a
b
. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Đọc tiếp
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a 2 + b 2 = 98 a b . Khẳng định nào sau đây đúng ?
a) cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn :a+b=c+d và ab +1=cd . Chứng tỏ c=d
b)cho dãy số nguyên dương : a1,a2,a3,...a7.Gọi b1,b2,...b7 là cách sắp xếp theo thứ tự khác của các số trên . Tính tổng
c)(a1+b1),(a2+b2),....(a7+b7) và cho biết tích P=(a1+b1).(a2+b2).....(a7+b7) là chẵn hay lẻ?
CÁC BẠN GIẢI NHANH GIÙM MÌNH NHA!
|
Xét tổng
Suy ra có ít nhất một trong 7 số |
là số chẵn
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a, b, c là số dương thỏa mãn a+b+c=1
CMR:
a2/b+b2/c+c2/a>=3(a2+b2+c2)
Mình cần gấp ạ !!
Trước hết, với \(a+b+c=1\) ta có:
\(a^2+b^2+c^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a+a^2b+b^2c+c^2a\)
Hay \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Từ đó:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^4}{a^2b}+\dfrac{b^4}{b^2c}+\dfrac{c^4}{c^2a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b+b^2c+c^2a}=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Đúng 2
Bình luận (3)
cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a2-ab+\(\dfrac{3}{2}\)b2 chia hết cho 25. Chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 5.
