Với các số thực dương a, b, c ta có:

\(\frac{2b-c}{a}\ge4\Leftrightarrow2b-c\ge4a\Leftrightarrow b\ge\frac{4a+c}{2}\)

\(\Leftrightarrow b^2\ge\frac{16a^2+8ac+c^2}{4}\Leftrightarrow b^2-4ac\ge\frac{16a^2+c^2}{4}>0\)

=> phương trình \(ãx^2+bx+c=0\) luôn có nghiệm

+) Nếu \(ac\le0\Rightarrow\)Phương trình có nghiệm

+) Nếu ac > 0\(\Rightarrow\)a và c cùng dấu

Từ giả thiết suy ra \(\frac{2b}{a}\ge\frac{c}{a}+4>0\Rightarrow\)a và b cùng dấu

\(\Rightarrow\)a, b, c cùng dấu. Vì thế ta chỉ cần xét a, b và c cùng dương là đủ

Với a, b, c cùng dương ta có :

\(\frac{2b}{a}\ge\frac{c}{a}+4\Leftrightarrow b\ge\frac{c+4a}{2}\Leftrightarrow b^2\ge\frac{c^2+8ac+16a^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow b^2-4ac\ge\frac{c^2-8ac+16a^2}{4}=\frac{\left(c-4a\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Delta\ge0\)nên phương trình luôn có nghiệm

Vậy phương trình \(ax^2+bx+c=0\)luôn có nghiệm (đpcm)

Cô Chi làm sai dòng 3 ạ!

sai đề TT

Xét phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)=0\left(1\right)\) có \(\Delta_1=a^2-4b\)

Xét phương trình \(\left(x^2+bx+a\right)=0\left(2\right)\) có \(\Delta_2=b^2-4a\)

       \(\Delta_1+\Delta_2=a^2+b^2-4\left(a+b\right)\)

mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=ab\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+b^2-4\left(a+b\right)=a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)

=> Có ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm 

=> đpcm

a=4 b=4

bn ngốc à,nếu vậy thì k cho mk đi

Theo đề bài ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=-\frac{ab}{2}\)

Ta lại có

\(x^2+ax+b=0\) có \(\Delta_1=a^2+4b\)

\(x^2+bx+a=0\) có \(\Delta_2=b^2+4a\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+4b+b^2+4a=a^2+b^2+4\left(a+b\right)\)

\(=a^2+b^2+4\left(\frac{-ab}{2}\right)=a^2+b^2-2ab\)

\(=\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) Có ít nhất 1 trong hai \(\Delta_1,\Delta_2\) không âm

Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm hay phương trình ban đầu luôn có nghiệm

Đặt \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\).

\(f\left(0\right)=c;f\left(1\right)=a+b+c\)

Do \(a+b+2c=0\) nên c và \(a+b+c\) trái dấu. Suy ra f(0)f(1) < 0 nên f(x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm tren (0; 1).

\(a=-2b-5c\Rightarrow a+2b=-5c\)

- Với \(c=0\Rightarrow a=-2b\Rightarrow-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2}\)

\(ax^2+bx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2}\in\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

- Với \(c\ne0\)

Hàm \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) liên tục trên R

\(f\left(0\right)=c\) ;

 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c=\dfrac{a+2b+4c}{4}=\dfrac{-5c+4c}{4}=-\dfrac{c}{4}\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{c^2}{4}< 0;\forall c\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) do \(\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\subset\left(0;1\right)\)