a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)

Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)

b. 

\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)

\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)

- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)

Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)

- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)

Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)

\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)

Áp dụng BĐT Schur:

\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)

\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))

Xét: a² \(\ge\)a;   b² \(\ge\)b;  c² \(\ge\)c

\(\Rightarrow\)a² + b² + c² \(\ge\)a + b + c \(\ge\)abc

ban duong huynh giang nham roi ban oi. a²\(\ge\)a khi a\(\ge\)1 thoi. Vi du \(\frac{1}{2}^2\ge\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}\)(vo li)

Xét 2 trường hợp:

+ \(\left|a\right|\ge1;\left|b\right|\ge1;\left|c\right|\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\ge abc\)

+ Trong 3 số \(\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\)có ít nhất 1 số nhỏ hơn1

Không mất tính ttoongr quát, ta giả sử:\(\left|c\right|< 1\)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge a^2+b^2\ge2\left|ab\right|>\left|abc\right|\ge abc\)

Ta có:

\(a+b+c\ge abc\) (gt)

mà \(a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\forall a,b,c\ge0\) 

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge abc\left(đpcm\right)\)

nếu sd bổ đề thì ít nhất bạn cx cần nói sơ qua về nó hoặc cm nó ạ

Căn 18 trừ 6 căn5

cho a,b,c >0